Prove ou dê um contraexemplo para cada uma das seguintes afirmações:
.
Passo 1
Temos a afirmação em questão:
. Aqui o conteúdo é composição e soma de funções, e vamos precisar usar as definições de soma de funções e de composição.
Passo 2
Por definição, a soma de duas funções
é a função
dada por
e a composição de duas funções
e
é a função
dada por
Passo 3
Para ver se a identidade
vale em geral, basta encontrar um contraexemplo.
Passo 4
Considere as funções
dadas por
Passo 5
Então
logo
Passo 6
Por outro lado,
Passo 7
Como
para
, obtemos
logo a igualdade proposta é falsa em geral e foi dado um contraexemplo.
Resposta
A afirmação é falsa em geral. Um contraexemplo é
f(x)=x^2, g(x)=x, h(x)=x,
pois f\circ(g+h)(x)=4x^2 e f\circ g(x)+f\circ h(x)=2x^2, que são diferentes.
f(x)=x^2, g(x)=x, h(x)=x,
pois f\circ(g+h)(x)=4x^2 e f\circ g(x)+f\circ h(x)=2x^2, que são diferentes.