Prove ou dê um contraexemplo para cada uma das seguintes afirmações:
f circ(g+h)=f circ g+f circ h.

Passo 1

Temos a afirmação em questão: fcirc(g+h)=fcirc g+fcirc h. Aqui o conteúdo é composição e soma de funções, e vamos precisar usar as definições de soma de funções e de composição.

Passo 2

Por definição, a soma de duas funções g,hcolon XtoR é a função g+hcolon XtoR dada por
(g+h)(x)=g(x)+h(x),
e a composição de duas funções fcolon Yto Z e kcolon Xto Y é a função fcirc kcolon Xto Z dada por
(fcirc k)(x)=fl(k(x)r)

Passo 3

Para ver se a identidade fcirc(g+h)=fcirc g+fcirc h vale em geral, basta encontrar um contraexemplo.

Passo 4

Considere as funções f,g,hcolonRtoR dadas por
f(x)=x^2,
g(x)=x,
h(x)=x

Passo 5

Então
(g+h)(x)=g(x)+h(x)=x+x=2x,
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fl((g+h)(x)r)=f(2x)=(2x)^2=4x^2

Passo 6

Por outro lado,
fl(g(x)r)+fl(h(x)r)=f(x)+f(x)=x^2+x^2=2x^2

Passo 7

Como 4x^2neq2x^2 para xneq0, obtemos
fcirc(g+h)neq fcirc g+fcirc h,
logo a igualdade proposta é falsa em geral e foi dado um contraexemplo.

Resposta

A afirmação é falsa em geral. Um contraexemplo é
f(x)=x^2, g(x)=x, h(x)=x,
pois f\circ(g+h)(x)=4x^2 e f\circ g(x)+f\circ h(x)=2x^2, que são diferentes.

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