Prove que a série sumn=2^infty 1n(ln n)^p é convergente se e somente se p>1.

Passo 1

Estamos analisando a série
sumn=2^infty 1n(ln n)^p,
que é uma série de termos positivos. Para estudar convergência, vamos usar o teste da integral. Isso funciona porque a função
f(x) = 1x(ln x)^p,
para x>=2, é positiva e decrescente sempre que p for fixo.

Passo 2

Verificamos as hipóteses do teste da integral:
  1. f(x)>0 para todo x>=2, já que x>0 e ln x>0.
  2. Para ver que f é decrescente, podemos derivar
f'(x) = -1x^2(ln x)^p - px^2(ln x)^p+1 = -1 + p/ln xx^2(ln x)^p <0 para todo x>=2
Logo, f é decrescente em [2,infty).

Passo 3

Pelo teste da integral, a série sumn=2^infty f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
integral2^infty 1x(ln x)^p,dx
converge. Vamos calcular essa integral por substituição. Faça
t = ln x, dt = dxx,
quando x=2 tem t=ln2 e quando xtoinfty tem ttoinfty. A integral vira
integral2^infty 1x(ln x)^p,dx = integralln2^infty 1t^p,dt

Passo 4

A integral
integralln2^infty 1t^p,dt
é um p-integral que converge se, e somente se, p>1. De fato,
  • Se pneq1, integralln2^A t^-p,dt = [t^1-p1-p]t=ln2^t=A = A^1-p - (ln2)^1-p1-p Quando Atoinfty, esse limite é finito exatamente quando 1-p<0, ou seja, p>1.
  • Se p=1, a integral seria integralln2^A t^-1,dt = [ln t]ln2^A = ln A - ln(ln2), que diverge quando Atoinfty.
Portanto, a integral converge se e somente se p>1.

Resposta

A série sumn=2^infty 1n(ln n)^p converge se, e somente se, p>1.

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