Prove que a série
é convergente se e somente se
.
Passo 1
Estamos analisando a série
que é uma série de termos positivos. Para estudar convergência, vamos usar o teste da integral. Isso funciona porque a função
para
, é positiva e decrescente sempre que
for fixo.
Passo 2
Verificamos as hipóteses do teste da integral:
-
para todo , já que e . - Para ver que
é decrescente, podemos derivar
Logo,
é decrescente em
.
Passo 3
Pelo teste da integral, a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge. Vamos calcular essa integral por substituição. Faça
quando
tem
e quando
tem
. A integral vira
Passo 4
A integral
é um p-integral que converge se, e somente se,
. De fato,
- Se
, Quando , esse limite é finito exatamente quando , ou seja, . - Se
, a integral seria que diverge quando .
Portanto, a integral converge se e somente se
.
Resposta
A série
converge se, e somente se,
.