Verifique se
converge ou não
Passo 1
O enunciado nos dá a série
que é uma série numérica. Para investigar convergência, vamos usar frações parciais e método telescópico, pois o termo geral lembra o tipo
.
Passo 2
Fazemos a decomposição em frações parciais: procuramos constantes
e
tais que
Multiplicando ambos os lados por
, obtemos
Igualando coeficientes, vem
Logo
Passo 3
Definimos a soma parcial
. Substituindo a fração parcial,
Passo 4
Expandindo a soma, notamos cancelamentos telescópicos:
Assim
e todos os termos de
até
se cancelam, sobrando
Passo 5
Para ver se a série converge, analisamos
Como o limite da soma parcial é finito, a série converge (e seu valor é
).
Resposta
A série converge e