Verifique se sumn=1^infty 1(n+2)(n+4) converge ou não

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty 1(n+2)(n+4),
que é uma série numérica. Para investigar convergência, vamos usar frações parciais e método telescópico, pois o termo geral lembra o tipo tfrac1n(n+k).

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais: procuramos constantes A e B tais que
1(n+2)(n+4) = An+2 + Bn+4
Multiplicando ambos os lados por (n+2)(n+4), obtemos
1 = A(n+4) + B(n+2) = (A+B),n + (4A+2B)
Igualando coeficientes, vem
A + B = 0, 4A + 2B = 1 Longrightarrow A = 12, B = -12
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1(n+2)(n+4) = 12l(1n+2 - 1n+4r)

Passo 3

Definimos a soma parcial SN=sumn=1^N1(n+2)(n+4). Substituindo a fração parcial,
SN = 12sumn=1^Nl(1n+2 - 1n+4r)

Passo 4

Expandindo a soma, notamos cancelamentos telescópicos:
sumn=1^N1n+2 = 13 + 14 + cdots + 1N+2, sumn=1^N1n+4 = 15 + 16 + cdots + 1N+4
Assim
SN = 12l[l(tfrac13 + tfrac14 + cdots + tfrac1N+2r) -l(tfrac15 + tfrac16 + cdots + tfrac1N+4r)r],
e todos os termos de tfrac15 até tfrac1N+2 se cancelam, sobrando
SN = 12l(13 + 14 - 1N+3 - 1N+4r)

Passo 5

Para ver se a série converge, analisamos
limNtoinfty SN = 12l(13 + 14 - 0 - 0r) = 12cdot712 = 724
Como o limite da soma parcial é finito, a série converge (e seu valor é tfrac724).

Resposta

A série converge e
sumn=1^infty 1(n+2)(n+4) = 724

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