Prove que no corpo dos reais vale:
(x+p)(x+q)(x+r)=x^3+(p+q+r)x+(pq+pr+qr)x+pqr

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando as propriedades do corpo dos reais (comutatividade, associatividade e distributividade), que
(x+p)(x+q)(x+r) = x^3+(p+q+r)x^2+(pq+pr+qr)x+pqr
Vamos fazer isso em etapas, expandindo passo a passo.

Passo 2

Primeiro, expandimos os dois primeiros fatores pela propriedade distributiva:
(x+p)(x+q) = xcdot x + xcdot q + pcdot x + pcdot q = x^2 + (p+q)x + pq

Passo 3

Agora multiplicamos esse resultado pelo terceiro fator (x+r), de novo usando distributividade em cada termo:
l(x^2 + (p+q)x + pqr)(x+r) = x^2cdot(x+r) + (p+q)xcdot(x+r) + pqcdot(x+r)

Passo 4

Expandindo cada um desses produtos:
x^2cdot(x+r)=x^3+r,x^2,
(p+q)xcdot(x+r)=(p+q)x^2+(p+q)r,x,
pqcdot(x+r)=pq,x + pq,r

Passo 5

Por fim, agrupamos termos semelhantes:
  • termo em x^3: x^3,
  • termos em x^2: r,x^2 + (p+q)x^2 = (p+q+r)x^2,
  • termos em x: (p+q)r,x + pq,x = (pr+qr+pq)x,
  • termo constante: pq,r = pqr.
Juntando tudo, obtemos
(x+p)(x+q)(x+r) = x^3+(p+q+r)x^2+(pq+pr+qr)x+pqr

Resposta

(x+p)(x+q)(x+r) = x^3+(p+q+r)x^2+(pq+pr+qr)x+pqr

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