Nas questões à seguir, assuma a definição: raiz[a]x^b=x^ba e prove os resultados nos reais.
raizab=raizaraizb;

Passo 1

O que queremos mostrar é que, para a>=0 e b>=0, vale
raizab ;=;raiza,raizb
Aqui usamos a definição de raiz quadrada como potência:
raizx=x^tfrac12,
e as propriedades de potências em R.

Passo 2

Vamos comparar os quadrados de cada lado da igualdade. Primeiro,
l(raizabr)^2 ;=;l((ab)^tfrac12r)^2 =;(ab)^tfrac12cdot2 =;(ab)^1 =;ab
Agora o produto das raízes:
l(raiza,raizbr)^2 =;l(a^tfrac12b^tfrac12r)^2 =;a^tfrac12cdot2;b^tfrac12cdot2 =;a,b

Passo 3

Vimos que tanto raizab quanto raiza,raizb são não--negativos e satisfazem
t^2=ab
Como a raiz quadrada não--negativa de ab é única, conclui‐se que
raizab ;=;raiza,raizb

Resposta

raizab=raiza,raizb

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