(1.5 pt) Diamantino gosta de jogar futebol, mas se jogar dois dias seguidos ele fica com dores musculares. De quantas maneiras Diamantino pode escolher em quais de 8 dias seguidos ele vai jogar bola sem ter dores musculares, se ele quer jogar pelo menos em três dias?

Passo 1

O enunciado pede: em 8 dias seguidos, escolher dias para jogar de modo que não haja dois dias consecutivos de jogo e que se jogue em pelo menos 3 dias. O conteúdo é de contagem de combinações com restrição de não-consecutividade, usando o resultado clássico de que, ao escolher k posições entre n sem duas adjacentes, o total é \binom{n-k+1}{k}.

Passo 2

Precisamos primeiro achar o número máximo k de dias que ele pode jogar sem nunca escolher dias consecutivos. Para não ter duas escolhas adjacentes, ao colocar k “jogos” em 8 dias há pelo menos k-1 dias “vazios” entre eles, logo
k + (k-1) \le 8
o que dá 2k - 1 \le 8, ou seja k \le 4{,}5. Como k é inteiro, k_{\max}=4.

Passo 3

Para cada valor de k entre 3 e 4, o número de maneiras de escolher k dias sem dois consecutivos em 8 dias é
\binom{8 - k + 1}{k}.
Assim:
Para k=3:
\binom{8-3+1}{3} = \binom{6}{3} = 20.
Para k=4:
\binom{8-4+1}{4} = \binom{5}{4} = 5.

Passo 4

Somando as possibilidades para k=3 e k=4, temos
20 + 5 = 25.

Resposta

25 maneiras.

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