Prove que, se a desigualdade das médias é válida para
números positivos,
, então ela é válida também para
números positivos.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se a desigualdade da média aritmética–geométrica vale para
números positivos (com
), então ela também vale para
números positivos. O conteúdo aqui é indução reversa: a partir do caso
obter o caso
.
Passo 2
Sejam
números positivos arbitrários. Definimos
Passo 3
Para usar a hipótese de que AM–GM vale para
números, introduzimos
Passo 4
Pela hipótese, para os
números
temos
Como
, o lado esquerdo vira
E o lado direito é
Passo 5
Da desigualdade obtida
elevamos ambos os lados à potência
:
Logo
que é exatamente a desigualdade AM–GM para os
números
.
Resposta
Mostramos que, partindo da validade da média aritmética–geométrica para
números, segue-se a validade para
números, conforme desejado.