Prove que, se a desigualdade das médias é válida para m números positivos, m>2, então ela é válida também para m-1 números positivos.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se a desigualdade da média aritmética–geométrica vale para m números positivos (com m>2), então ela também vale para m-1 números positivos. O conteúdo aqui é indução reversa: a partir do caso m obter o caso m-1.

Passo 2

Sejam a1,a2,dots,am-1 números positivos arbitrários. Definimos
S = a1 + a2 + cdots + am-1,
P = a1 cdot a2 cdots am-1

Passo 3

Para usar a hipótese de que AM–GM vale para m números, introduzimos
am = Sm-1

Passo 4

Pela hipótese, para os m números a1,dots,am-1,am temos
a1 + a2 + cdots + am-1 + amm ;>=; l(a1 cdot a2 cdots am-1 cdot amr)^!1/m
Como a1 + cdots + am-1+am=S + tfracSm-1=mm-1S, o lado esquerdo vira
1mcdotmm-1S=Sm-1
E o lado direito é
l(Pcdot amr)^!1/m =l(PcdotSm-1r)^!1/m

Passo 5

Da desigualdade obtida
Sm-1 ;>=; l(PcdotSm-1r)^!1/m
elevamos ambos os lados à potência m:
l(Sm-1r)^m ;>=; PcdotSm-1 ;Longrightarrow; l(Sm-1r)^m-1 ;>=; P
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Sm-1 ;>=; P^1/(m-1),
que é exatamente a desigualdade AM–GM para os m-1 números a1,dots,am-1.

Resposta

Mostramos que, partindo da validade da média aritmética–geométrica para m números, segue-se a validade para m-1 números, conforme desejado.

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