Se x, y e z são números positivos tais que 1 <= x+y+z <= 3, qual é o conjunto de valores de x y+y z+z x?

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z>0 e que
1 <= x+y+z <= 3,
e quer o conjunto possível de valores de
S = xy + yz + zx
Este é um problema de extremos de função simétrica sob restrição na soma das variáveis. Vamos primeiro, para uma soma fixa s=x+y+z, achar mínimo e máximo de S e depois variar s em [1,3].

Passo 2

Considere s=x+y+z fixo. Usando a identidade
(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2 + 2(xy+yz+zx)
vemos que, para dado s, maximizar S é o mesmo que minimizar x^2+y^2+z^2. Pelo Princípio da Desigualdade Quadrática (ou por Lagrange), esse mínimo ocorre se, e só se,
x=y=z=s3
Logo o máximo de S para soma fixa s é
Smax(s) =3l(s3r)^2 =s^23
Para o mínimo, basta aproximar duas das variáveis de 0 e a terceira de s, o que leva
Smin(s)to 0
Como x,y,z>0, S nunca atinge exatamente 0, mas pode ficar arbitrariamente próximo dele.

Passo 3

Agora deixamos s variar em [1,3]. O máximo global de S é
max1<= s<=3 s^23 =3^23=3,
atingido em x=y=z=1. O ínfimo global de S é
inf1<= s<=3 0 = 0,
não atingido, mas arbitrariamente aproximável.

Resposta

O conjunto de valores de xy+yz+zx é
(0,,3]

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