Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado diz que
e que
e quer o conjunto possível de valores de
Este é um problema de extremos de função simétrica sob restrição na soma das variáveis. Vamos primeiro, para uma soma fixa
, achar mínimo e máximo de
e depois variar
em
.
Passo 2
Considere
fixo. Usando a identidade
vemos que, para dado
, maximizar
é o mesmo que minimizar
. Pelo Princípio da Desigualdade Quadrática (ou por Lagrange), esse mínimo ocorre se, e só se,
Logo o máximo de
para soma fixa
é
Para o mínimo, basta aproximar duas das variáveis de
e a terceira de
, o que leva
Como
,
nunca atinge exatamente
, mas pode ficar arbitrariamente próximo dele.
Passo 3
Agora deixamos
variar em
. O máximo global de
é
atingido em
. O ínfimo global de
é
não atingido, mas arbitrariamente aproximável.
Resposta
O conjunto de valores de
é