Se x, y e z são números positivos tais que x y z=8, qual é o conjunto de valores de x+y+z?

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z são números reais positivos e satisfazem
xyz = 8
Precisamos encontrar todos os possíveis valores da soma
S = x + y + z
Para isso, vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) para obter um limite inferior, e depois mostrar que não existe limite superior.

Passo 2

Pela desigualdade AM–GM em três termos, temos
x + y + z3 ;>=; raiz[3]xyz
Como xyz = 8, segue
raiz[3]xyz = raiz[3]8 = 2
Logo
S3 >= 2 Longrightarrow S >= 6
Isso mostra que o mínimo possível de S é 6, atingido quando x=y=z=2.

Passo 3

Agora, para ver que não há máximo para S, basta exibir uma família de soluções em que Sto+infty. Por exemplo, escolha
x = t, y = z = raiz8t,
com t>0. Então
xyz = t cdot raiz8t;cdot;raiz8t = t cdot 8t = 8,
e
S(t) = t + 2raiz8t
Quando tto+infty, o termo t domina, de modo que
S(t)longrightarrow +infty
Portanto não existe um valor máximo para S.

Resposta

O conjunto de valores de x+y+z é ,[6,infty).

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