Se
e
são números positivos tais que
, qual é o conjunto de valores de
?
Passo 1
O enunciado diz que
são números reais positivos e satisfazem
Precisamos encontrar todos os possíveis valores da soma
Para isso, vamos usar a desigualdade entre a média aritmética e a média geométrica (AM–GM) para obter um limite inferior, e depois mostrar que não existe limite superior.
Passo 2
Pela desigualdade AM–GM em três termos, temos
Como
, segue
Logo
Isso mostra que o mínimo possível de
é
, atingido quando
.
Passo 3
Agora, para ver que não há máximo para
, basta exibir uma família de soluções em que
. Por exemplo, escolha
com
. Então
e
Quando
, o termo
domina, de modo que
Portanto não existe um valor máximo para
.
Resposta
O conjunto de valores de
é
.