Se x, y e z são números positivos tais que 1 <= x y z <= 3, qual é o conjunto de valores de x y+y z+z x?

Passo 1

O enunciado diz que x,y,z>0 e
1 <= xyz <= 3,
e pede o conjunto de valores possíveis de
S = xy + yz + zx
Vamos achar o menor valor de S usando a desigualdade AM–GM e depois mostrar que não há teto superior para S.

Passo 2

Pela desigualdade de médias aritmética e geométrica em três termos:
xy + yz + zx3 ;>=; l(xycdot yzcdot zxr)^1/3 =l((xyz)^2r)^1/3 =(xyz)^2/3
Multiplicando por 3,
xy + yz + zx ;>=; 3,(xyz)^2/3
Como xyz>=1, temos (xyz)^2/3>=1, daí
S = xy + yz + zx ;>=; 3cdot1 = 3

Passo 3

Para ver que S=3 é atingido, basta tomar
x=y=z=1,
pois então xyz=1 e
xy+yz+zx = 1+1+1 = 3

Passo 4

Para mostrar que não há máximo, fixe xyz=1 e escolha
x=y=t, z=1t^2, t>0
Então
S = t^2 + 2l(tcdot1t^2r) = t^2 + 2t
Quando ttoinfty, t^2 + 2/ttoinfty. Logo S pode crescer sem limite.

Resposta

boxed[,3,infty)

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