Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y^{3} d x=2 x^{3} d y-2 x^{2} y d x, y(1)=\sqrt{2}
y^{3} d x=2 x^{3} d y-2 x^{2} y d x, y(1)=\sqrt{2}
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
com condição inicial
.
Esse é um problema de equação de primeira ordem que, ao isolar , revela-se homogêneo em
e
, isto é, pode ser tratado com a substituição
.
Esse é um problema de equação de primeira ordem que, ao isolar
Passo 2
Vamos escrever
. Primeiro, agrupamos os termos em
de um lado:
Dividindo por
e por
, obtém-se
Passo 3
Fazemos a substituição de variáveis
Substituindo em
, resulta
Isso é uma equação separável em
e
.
Passo 4
Separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados:
Multiplicando por 2 e reorganizando,
onde
é constante de integração.
Passo 5
Voltando a
e
, temos
Aplicando a condição inicial
:
logo
. Portanto
Como
deve ficar positiva em torno de
, escolhemos o sinal positivo.