Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada.
y^{3} d x=2 x^{3} d y-2 x^{2} y d x, y(1)=\sqrt{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{3}\,dx \;=\;2\,x^{3}\,dy \;-\;2\,x^{2}\,y\,dx,
com condição inicial y(1)=\sqrt{2}.
Esse é um problema de equação de primeira ordem que, ao isolar dy/dx, revela-se homogêneo em y e x, isto é, pode ser tratado com a substituição y = x\,v(x).

Passo 2

Vamos escrever dy/dx. Primeiro, agrupamos os termos em dx de um lado:
y^{3}\,dx + 2\,x^{2}\,y\,dx = 2\,x^{3}\,dy.
Dividindo por dx e por 2x^{3}, obtém-se
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{3} + 2\,x^{2}\,y}{2\,x^{3}} = \frac{y^{3}}{2\,x^{3}} + \frac{y}{x} = \frac{1}{2}\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)^{3} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Fazemos a substituição de variáveis
y = x\,v,\quad\text{logo}\quad \frac{dy}{dx} = v + x\,\frac{dv}{dx}.
Substituindo em \displaystyle \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}v^3 + v, resulta
v + x\,\frac{dv}{dx} = v + \tfrac12\,v^{3} \quad\Longrightarrow\quad x\,\frac{dv}{dx} = \tfrac12\,v^{3}.
Isso é uma equação separável em v e x.

Passo 4

Separamos as variáveis:
\frac{dv}{v^{3}} = \frac{1}{2}\,\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int v^{-3}\,dv = \int \tfrac12\,x^{-1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad -\tfrac12\,v^{-2} = \tfrac12\ln|x| + C.
Multiplicando por 2 e reorganizando,
-v^{-2} = \ln|x| + C' \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{v^{2}} = -\ln|x| + K
onde K é constante de integração.

Passo 5

Voltando a y e x, temos
v = \frac{y}{x} \;\Longrightarrow\; \frac{x^{2}}{y^{2}} = K - \ln|x| \;\Longrightarrow\; y^{2} = \frac{x^{2}}{\,K - \ln|x|\,}.
Aplicando a condição inicial y(1)=\sqrt{2}:
2 = y(1)^{2} = \frac{1^{2}}{\,K - \ln(1)\,} = \frac{1}{K},
logo K = \tfrac12. Portanto
y^{2} = \frac{x^{2}}{\tfrac12 - \ln x} = \frac{2\,x^{2}}{\,1 - 2\ln x\,}.
Como \sqrt{\phantom{a}} deve ficar positiva em torno de x=1, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x) = x\,\sqrt{\frac{2}{\,1 - 2\ln x\,}}.

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