Este determinante é chamado de determinante de Vandermonde.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o determinante da matriz
A= 1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2
é
det(A) = (b - a),(c - a),(c - b)
O conteúdo principal é determinantes de matrizes e uso de operações elementares em linhas para triangularizar e fatorar, explorando a linearidade em cada linha.
Passo 2
Subtraímos a primeira linha da segunda e da terceira, sem alterar o valor do determinante, obtendo uma matriz equivalente
1 & a & a^2 [6pt] 0 & b - a & b^2-a^2 [6pt] 0 & c - a & c^2-a^2
Note que
b^2-a^2 = (b-a)(b+a), c^2-a^2 = (c-a)(c+a) ]
Passo 3
Fatoramos b-a na segunda linha e c-a na terceira linha:
1 & a & a^2 [4pt] 0 & b - a & (b-a)(b+a) [4pt] 0 & c - a & (c-a)(c+a) = (b-a)(c-a) 1 & a & a^2 [4pt] 0 & 1 & b+a [4pt] 0 & 1 & c+a ]
Passo 4
Agora expandimos o determinante da matriz triangular à direita pela primeira coluna:
det 1 & a & a^2 [4pt] 0 & 1 & b+a [4pt] 0 & 1 & c+a = 1 cdot det 1 & b+a [4pt] 1 & c+a = (c+a) - (b+a) = c - b
Multiplicando pelo fator (b-a)(c-a) que tiramos, obtemos
det(A) = (b-a),(c-a),(c-b) ]
Resposta
det 1 & a & a^2 1 & b & b^2 1 & c & c^2 = (b - a),(c - a),(c - b)