Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma matriz 3x3 e sabe que o determinante dessa matriz original é igual a -2. O que precisamos fazer é calcular o determinante de uma nova matriz que surgiu a partir da primeira, onde alteramos um dos elementos da primeira coluna. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de determinantes na álgebra linear e aplicar algumas propriedades específicas dos determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como a nova matriz foi formada. Na matriz original, temos os elementos a1 , a2 , a3 na primeira linha, e assim por diante. Na nova matriz, substituímos a1 por a1 - 12a3 , b1 por b1 - 12b3 e c1 por c1 - 12c3 na primeira coluna. Ou seja, estamos fazendo uma combinação linear na primeira coluna.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante dos determinantes: se a gente faz uma operação de subtração de um múltiplo de uma coluna de uma matriz, o determinante da matriz resultante pode ser calculado de forma mais simples. Especificamente, se substituímos a primeira coluna por ela mesma menos metade da terceira coluna, o determinante dessa nova matriz será igual ao determinante da matriz original menos metade do determinante de uma matriz onde a primeira e a terceira colunas são iguais.
Passo 4
Entretanto, se a gente tiver duas colunas iguais em uma matriz, o determinante dela é zero. Então, no nosso caso, a segunda parte desaparece porque o determinante de uma matriz com duas colunas iguais é zero. Portanto, o determinante da nova matriz é igual ao determinante da matriz original, que já sabemos que é -2.