Prove diretamente da definição de limite que:
f) A sequência a_{n}=\frac{5 n^{3}-2 n^{2}+1}{2 n^{3}+7 n-3} tende para \frac{5}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para provar diretamente da definição de limite que a sequência
a_{n} = \frac{5n^{3} - 2n^{2} + 1}{2n^{3} + 7n - 3}
tende a \tfrac52. Vamos usar a definição \varepsilon N: mostrar que, dado \varepsilon>0, existe N tal que, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n} - \tfrac52\bigr| < \varepsilon.

Passo 2

Calculemos primeiro a diferença
\bigl|a_{n} - \tfrac52\bigr| = \Bigl|\frac{5n^{3} - 2n^{2} + 1}{2n^{3} + 7n - 3} - \frac52\Bigr|.
Colocando no mesmo denominador,
\frac{2(5n^{3} - 2n^{2} + 1)\;-\;5(2n^{3} + 7n - 3)} {2(2n^{3} + 7n - 3)} = \frac{-4n^{2} \;-\;35n \;+\;17}{2(2n^{3} + 7n - 3)}.
Portanto
\bigl|a_{n} - \tfrac52\bigr| = \frac{4n^{2} + 35n + 17}{2(2n^{3} + 7n - 3)}.

Passo 3

Para n\ge1 temos
2n^{3} + 7n - 3 \;\ge\; 2n^{3},
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2(2n^{3} + 7n - 3)\;\ge\;4n^{3},
e assim
\bigl|a_{n} - \tfrac52\bigr| \le \frac{4n^{2} + 35n + 17}{4n^{3}} = \frac{4n^{2}}{4n^{3}} \;+\;\frac{35n}{4n^{3}} \;+\;\frac{17}{4n^{3}} = \frac1n + \frac{35}{4n^{2}} + \frac{17}{4n^{3}}.

Passo 4

Ainda para n\ge1 vale \tfrac{35}{4n^{2}}\le \tfrac{35}{4n} e \tfrac{17}{4n^{3}}\le \tfrac{17}{4n}. Portanto
\bigl|a_{n} - \tfrac52\bigr| \le \frac1n + \frac{35}{4n} + \frac{17}{4n} = \frac1n + \frac{52}{4n} = \frac{14}{n}.

Passo 5

Dado \varepsilon>0, basta escolher um N\in\mathbb{N} tal que
N > \frac{14}{\varepsilon}.
Então, para todo n\ge N,
\bigl|a_{n} - \tfrac52\bigr|\le \frac{14}{n}\le \frac{14}{N}<\varepsilon.

Passo 6

Pelo critério \varepsilon N, concluímos que
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \frac52.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{5n^{3}-2n^{2}+1}{2n^{3}+7n-3} = \frac52.

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