Prove diretamente da definição de limite que:
e) A sequência a_{n}=a^{n}, onde 0<a<1 tende para zero.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para 0<a<1, a sequência
a_{n}=a^{n}
satisfaz
\lim_{n\to\infty}a_n=0
usando diretamente a definição de limite de sequência. Ou seja, dado \varepsilon>0, precisamos escolher um N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N, valha
\bigl|a^n-0\bigr|<\varepsilon.
Passo 2
Note que, como 0<a<1, temos a^n>0 para todo n. Então
\bigl|a^n-0\bigr|=a^n,
e basta garantir
a^n<\varepsilon.
Passo 3
Para resolver a^n<\varepsilon, tomamos logaritmo natural em ambos os lados. Como a função \ln é crescente e \ln(a)<0, obtemos