Prove diretamente da definição de limite que:
e) A sequência a_{n}=a^{n}, onde 0<a<1 tende para zero.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para 0<a<1, a sequência
a_{n}=a^{n}
satisfaz
\lim_{n\to\infty}a_n=0
usando diretamente a definição de limite de sequência. Ou seja, dado \varepsilon>0, precisamos escolher um N\in\mathbb{N} tal que, sempre que n\ge N, valha
\bigl|a^n-0\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Note que, como 0<a<1, temos a^n>0 para todo n. Então
\bigl|a^n-0\bigr|=a^n,
e basta garantir
a^n<\varepsilon.

Passo 3

Para resolver a^n<\varepsilon, tomamos logaritmo natural em ambos os lados. Como a função \ln é crescente e \ln(a)<0, obtemos
\ln(a^n)<\ln(\varepsilon) \quad\Longleftrightarrow\quad n\,\ln(a)<\ln(\varepsilon) \quad\Longleftrightarrow\quad n>\frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(a)}.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, defina
N = \left\lceil \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(a)} \right\rceil.
Então, sempre que n\ge N, segue
n\ge N\ge \frac{\ln(\varepsilon)}{\ln(a)},
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n\,\ln(a)\le \ln(\varepsilon) \quad\Longrightarrow\quad a^n = e^{\,n\ln(a)}\le e^{\ln(\varepsilon)}=\varepsilon.
Assim \bigl|a^n-0\bigr|=a^n<\varepsilon para todo n\ge N, provando que a^n\to0.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a^n=0 quando 0<a<1.

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