Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
Passo 1
Resumindo, queremos resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
Para isso vamos usar que
.
.
.
.
. Linearidade e transformadas de
.
Passo 2
Aplicando Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais:
Isso dá
Logo
Passo 3
Isolando
:
Chamemos
Passo 4
Para
fazemos frações parciais:
Igualando coeficientes:
Então
Passo 5
Para
fazemos em duas partes:
Resolvendo em
Resolvendo em
Como era
no numerador,
mais a parte
.
Somando termos semelhantes dá
Somando termos semelhantes dá
Passo 6
Agora invertendo cada termo:
E para
:
Somando tudo:
.