Use a transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
y^prime prime-4 y^prime=6 e^3 t-3 e^-t, y(0)=1, y^prime(0)=-1

Passo 1

Resumindo, queremos resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y'' - 4y' = 6e^3t - 3e^-t, y(0) = 1, y'(0) = -1
Para isso vamos usar que
1. Ly'(t) = sY(s) - y(0).
2. Ly''(t) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0).
3. Linearidade e transformadas de e^at.

Passo 2

Aplicando Laplace em ambos os lados e usando as condições iniciais:
Ly''-4Ly' =(s^2Y-scdot1-(-1))-4l(sY-1r) =61s-3-31s+1
Isso dá
(s^2Y-s+1)-4sY+4 = 6s-3-3s+1
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(s^2-4s),Y -s+5 = 6s-3-3s+1

Passo 3

Isolando Y(s):
Y(s) = 6s-3-3s+1+s-5s(s-4) =s-5s(s-4);+; 6s-3-3s+1s(s-4)
Chamemos
H(s)=s-5s(s-4), G(s)= 6s-3-3s+1s(s-4)

Passo 4

Para H(s) fazemos frações parciais:
s-5s(s-4)=As+Bs-4,
s-5=A(s-4)+Bs.
Igualando coeficientes:
A+B=1 e -4A=-5 implies A=tfrac54,;B=-tfrac14.
Então
H(s)=5/4s-1/4s-4

Passo 5

Para G(s)=dfrac6s(s-3)(s-4)-dfrac3s(s+1)(s-4) fazemos em duas partes:
1.
6s(s-3)(s-4)=A1s+B1s-3+C1s-4
Resolvendo em s=0,3,4 obtemos
A1=tfrac12,;B1=-2,;C1=tfrac32 2.
3s(s+1)(s-4)=A2s+B2s+1+C2s-4
Resolvendo em s=0,-1,4 obtemos
A2=tfrac34,;B2=-tfrac35,;C2=-tfrac320
Como era -3 no numerador, G(s)=-[,parte 2,] mais a parte 1.
Somando termos semelhantes dá
G(s) =5/4s-2s-3-3/5s+1+27/20s-4

Passo 6

Agora invertendo cada termo:
L^-1l5/4sr=54, L^-1l-2s-3r=-2e^3t,
L^-1l-3/5s+1r=-35e^-t, L^-1l27/20s-4r=2720e^4t
E para H(s):
L^-1ltfrac5/4sr=54, L^-1l-1/4s-4r=-14e^4t
Somando tudo: y(t)=L^-1H+G.

Resposta

y(t) =52-2e^3t+1110e^4t-35e^-t

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