Sejam e quatro pontos fora de um círculo de raio e centro . Suponha que os segmentos e D A estão fora do círculo e que o segmento A C contém o ponto O. Mostre que dA, B+dB, C+dC, D+dD, A>4 r.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos A, B, C e D que estão todos fora de um círculo com raio r e centro em O . Os segmentos que ligam esses pontos ( AB, BC, CD, DA ) estão todos fora do círculo, e a linha que liga A a C passa pelo centro O . Nosso objetivo é mostrar que a soma das distâncias desses segmentos é maior que 4r .
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação. Imagine um círculo com raio r e centro em O . Os pontos A e C estão em posições tais que a linha AC passa por O . Como todos os segmentos AB, BC, CD, DA estão fora do círculo, isso significa que nenhuma dessas linhas corta o círculo.
Passo 3
Vamos lembrar de uma propriedade importante: a distância mais curta entre dois pontos é a linha reta que os conecta. No nosso caso, os segmentos AB, BC, CD, DA são as distâncias diretas entre os pontos.
Passo 4
Como AC passa pelo centro O , podemos considerar que O está exatamente no meio dessa linha. Portanto, a distância AC pode ser dividida em duas partes iguais: AO e CO , cada uma com comprimento r .
Passo 5
Agora, observe que cada um dos segmentos AB, BC, CD, DA está fora do círculo, ou seja, cada um desses segmentos é maior que r . Isso ocorre porque se algum desses segmentos tivesse comprimento igual ou menor que r , ele cortaria o círculo, o que contraria o que foi dado.
Passo 6
Portanto, temos que cada um desses quatro segmentos é maior que r . Se somarmos essas quatro distâncias, teremos algo maior que r + r + r + r = 4r .
Resposta
Assim, mostramos que dA, B + dB, C + dC, D + dD, A > 4r .