Seja f(X)=7 X^6+18 X^4-60 X^2+12 in Q[X] Q[X] /(f(X)) é um corpo? Justifique a resposta.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o quociente Q[X]/(f(X)) é um corpo, onde f(X)=7X^6+18X^4-60X^2+12. Esse tipo de questão usa o critério de que Q[X]/(f) é campo exatamente quando f é irreduzível em Q[X].

Passo 2

Observamos que f é um polinômio par, isto é, f(-X)=f(X). Logo podemos definir T=X^2 e o polinômio de grau 3 em T
g(T)=7T^3+18T^2-60T+12,
de modo que f(X)=g(X^2). Se g for irreduzível em Q[T], então não existe fatoração não-trivial de f em polinômios pares, e também não há fatoração em polinômios ímpares (pois f(0)=12neq0 impede fatores ímpares), mostrando que f é irreduzível em Q[X].

Passo 3

Para testar a irreducibilidade de g(T)=7T^3+18T^2-60T+12, aplicamos o Teste da Raiz Racional: as raízes racionais possíveis são da forma pm p/q, onde pmid12 e qmid7. Isso dá candidatos pm1,pm2,pm3,pm4,pm6,pm12,pm1/7,ldots,pm12/7. Substituindo cada um em g(T), nenhum anula o polinômio. Portanto, g não tem raiz racional, logo é irreduzível de grau 3 em Q[T].

Passo 4

Concluímos que g(T) é irreduzível em Q[T], o que implica que f(X)=g(X^2) não se fatorará em Q[X]. Assim f(X) é irreduzível em Q[X].
Como f é irreduzível, o ideal (f) é maximal em Q[X] e, por isso,
Q[X]/(f(X)) é um corpo.

Resposta

Sim. Porque f(X) é irreduzível em Q[X], o ideal (f) é maximal e o quociente Q[X]/(f) é um corpo.

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