Seja
é um corpo? Justifique a resposta.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o quociente
é um corpo, onde
. Esse tipo de questão usa o critério de que
é campo exatamente quando
é irreduzível em
.
Passo 2
Observamos que
é um polinômio par, isto é,
. Logo podemos definir
e o polinômio de grau 3 em
de modo que
Passo 3
Para testar a irreducibilidade de
, aplicamos o Teste da Raiz Racional: as raízes racionais possíveis são da forma
, onde
e
. Isso dá candidatos
. Substituindo cada um em
, nenhum anula o polinômio. Portanto,
não tem raiz racional, logo é irreduzível de grau 3 em
.
Passo 4
Concluímos que
é irreduzível em
, o que implica que
não se fatorará em
. Assim
é irreduzível em
.
Como é irreduzível, o ideal
é maximal em
e, por isso,
é um corpo.
Como
Resposta
Sim. Porque
é irreduzível em
, o ideal
é maximal e o quociente
é um corpo.