Prove que dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.

Passo 1

O enunciado pede para provar que dois planos são paralelos dadas as seguintes informações:
  • Temos duas retas r_1 e r_2 tais que r_1 \parallel r_2.
  • Existe um plano \pi_1 que é perpendicular à reta r_1.
  • Existe um plano \pi_2 que é perpendicular à reta r_2.
O que se pede: provar que \pi_1 e \pi_2 são paralelos (ou seja, \pi_1 \parallel \pi_2).

Passo 2

Primeiro precisamos entender com precisão o que significa “uma reta é perpendicular a um plano”. Vou explicar devagarinho.
Definição prática: uma reta r é perpendicular a um plano \pi se elas se intersectam em um ponto P e, no ponto P, a reta r é perpendicular a toda reta que pertença a \pi e passe por P.
Uma forma muito útil de pensar nisso é por vetores: toda reta tem uma direção, que podemos representar por um vetor diretor. Um plano tem uma direção “normal” (um vetor normal) que é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano. Se uma reta r é perpendicular ao plano \pi, então o vetor diretor de r é paralelo (ou colinear) ao vetor normal de \pi. Em símbolos: se a direção de r for \vec{u} e o normal de \pi for \vec{n}, então
\vec{u} \parallel \vec{n}.
Isso é a ponte entre retas e planos que vamos usar.

Passo 3

Agora aplicamos isso ao nosso caso concreto. Seja \vec{u} um vetor diretor da reta r_1 e seja \vec{v} um vetor diretor da reta r_2. Como foi dado que r_1 \parallel r_2, temos
\vec{u} \parallel \vec{v}.
Como \pi_1 é perpendicular a r_1, o vetor diretor \vec{u} é paralelo a um vetor normal \vec{n}_1 de \pi_1. Em notação:
\vec{n}_1 \parallel \vec{u}.
Analogamente, como \pi_2 é perpendicular a r_2, existe um vetor normal \vec{n}_2 de \pi_2 tal que
\vec{n}_2 \parallel \vec{v}.

Passo 4

Juntando as paralelidades das últimas duas igualdades com a paralelidade entre \vec{u} e \vec{v}, obtemos
\vec{n}_1 \parallel \vec{u} \parallel \vec{v} \parallel \vec{n}_2,
ou seja,
\vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2.
Portanto os vetores normais das duas superfícies \pi_1 e \pi_2 são paralelos (colineares).

Passo 5

Agora usamos um fato geométrico padrão sobre planos: dois planos são paralelos (ou coincidem) se, e somente se, seus vetores normais são paralelos. Vou justificar isso de forma simples e intuitiva.
  • Se dois planos têm vetores normais não paralelos, então esses vetores formam um ângulo não nulo e os planos se cruzam ao longo de uma reta (essa reta de interseção é perpendicular ao plano formado pelos dois vetores normais). Assim, norma não paralela ⇒ planos não paralelos.
  • Se dois planos têm vetores normais paralelos, então eles “apontam” na mesma direção perpendicular. Geometricamente isso significa que ambos são ortogonais à mesma direção; assim, cada plano é um deslocamento (ou coincidente) do outro na direção do normal. Portanto nesse caso os planos ou coincidem ou são paralelos (não se intersectam).
Como no nosso caso \vec{n}_1 \parallel \vec{n}_2, concluímos que \pi_1 e \pi_2 são ou coincidentes ou paralelos. Em qualquer dos casos, elas são paralelas no sentido geométrico usual (pelo menos não formam um ângulo diferente de zero entre si).

Passo 6

Resumo final e intuição: as retas paralelas determinam a mesma direção; cada plano é perpendicular à sua respectiva reta, então cada plano tem um normal na direção dessa reta. Como as retas têm a mesma direção, os normais dos planos têm a mesma direção, logo os planos são paralelos (ou coincidentes). Visualize duas colunas verticais paralelas ( r_1,r_2) e planos horizontais que as atravessam: esses planos ficam paralelos entre si.

Resposta

\pi_1 \parallel \pi_2

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