Prove que dois planos, respectivamente perpendiculares a duas retas paralelas, são paralelos.
Passo 1
O enunciado pede para provar que dois planos são paralelos dadas as seguintes informações:
- Temos duas retas
e tais que . - Existe um plano
que é perpendicular à reta . - Existe um plano
que é perpendicular à reta .
O que se pede: provar que
e
são paralelos (ou seja,
).
Passo 2
Primeiro precisamos entender com precisão o que significa “uma reta é perpendicular a um plano”. Vou explicar devagarinho.
Definição prática: uma reta
é perpendicular a um plano
se elas se intersectam em um ponto
e, no ponto
, a reta
é perpendicular a toda reta que pertença a
e passe por
.
Uma forma muito útil de pensar nisso é por vetores: toda reta tem uma direção, que podemos representar por um vetor diretor. Um plano tem uma direção “normal” (um vetor normal) que é perpendicular a qualquer vetor que esteja contido no plano. Se uma reta
é perpendicular ao plano
, então o vetor diretor de
é paralelo (ou colinear) ao vetor normal de
. Em símbolos: se a direção de
for
e o normal de
for
, então
Isso é a ponte entre retas e planos que vamos usar.
Passo 3
Agora aplicamos isso ao nosso caso concreto. Seja
um vetor diretor da reta
e seja
um vetor diretor da reta
. Como foi dado que
, temos
Como
é perpendicular a
, o vetor diretor
é paralelo a um vetor normal
de
. Em notação:
Analogamente, como
é perpendicular a
, existe um vetor normal
de
tal que
Passo 4
Juntando as paralelidades das últimas duas igualdades com a paralelidade entre
e
, obtemos
ou seja,
Portanto os vetores normais das duas superfícies
e
são paralelos (colineares).
Passo 5
Agora usamos um fato geométrico padrão sobre planos: dois planos são paralelos (ou coincidem) se, e somente se, seus vetores normais são paralelos. Vou justificar isso de forma simples e intuitiva.
- Se dois planos têm vetores normais não paralelos, então esses vetores formam um ângulo não nulo e os planos se cruzam ao longo de uma reta (essa reta de interseção é perpendicular ao plano formado pelos dois vetores normais). Assim, norma não paralela ⇒ planos não paralelos.
- Se dois planos têm vetores normais paralelos, então eles “apontam” na mesma direção perpendicular. Geometricamente isso significa que ambos são ortogonais à mesma direção; assim, cada plano é um deslocamento (ou coincidente) do outro na direção do normal. Portanto nesse caso os planos ou coincidem ou são paralelos (não se intersectam).
Como no nosso caso
, concluímos que
e
são ou coincidentes ou paralelos. Em qualquer dos casos, elas são paralelas no sentido geométrico usual (pelo menos não formam um ângulo diferente de zero entre si).
Passo 6
Resumo final e intuição: as retas paralelas determinam a mesma direção; cada plano é perpendicular à sua respectiva reta, então cada plano tem um normal na direção dessa reta. Como as retas têm a mesma direção, os normais dos planos têm a mesma direção, logo os planos são paralelos (ou coincidentes). Visualize duas colunas verticais paralelas (
) e planos horizontais que as atravessam: esses planos ficam paralelos entre si.