Prove que duas retas, respectivamente perpendiculares a dois planos paralelos, são paralelas.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: temos dois planos paralelos \Pi_1 e \Pi_2. Há duas retas, a e b, tais que a é perpendicular ao plano \Pi_1 e b é perpendicular ao plano \Pi_2. A pergunta é: provar que as retas a e b são paralelas. Vou usar somente essas informações; não há dados numéricos nem figuras adicionais.

Passo 2

Primeiro vou explicar o que significa “reta perpendicular a um plano” de um jeito bem concreto. Dizemos que uma reta r é perpendicular a um plano \Pi quando r intersecta \Pi em um ponto P e, nesse ponto P, a reta r é perpendicular a toda reta que esteja contida em \Pi e passe por P. Em outras palavras: se s é qualquer reta de \Pi que passa por P, então r\perp s.
Esse fato implica algo importante: a direção da reta r é uma direção “normal” ao plano \Pi. Vou dar nome a essa ideia: chamamos de vetor normal (ou simplesmente normal) a um plano qualquer vetor que seja perpendicular a todos os vetores que ficam no plano.

Passo 3

Agora explico a propriedade dos planos paralelos em termos dessa ideia de normal. Se dois planos \Pi_1 e \Pi_2 são paralelos, então eles têm a mesma orientação espacial — isto é, as direções que pertencem a \Pi_1 são as mesmas direções que pertencem a \Pi_2, apenas deslocadas. Dessa característica segue que qualquer vetor que seja normal a \Pi_1 também será paralelo a qualquer vetor normal a \Pi_2. Em linguagem curta: normas de planos paralelos são paralelas entre si.
Um modo simples de ver isso é: escolha duas direções independentes u e v contidas em \Pi_1. Como \Pi_2 é paralela a \Pi_1, existem vetores em \Pi_2 que são paralelos a u e a v. Um vetor que seja perpendicular a u e a v será perpendicular também às direções correspondentes em \Pi_2; portanto a direção do normal de \Pi_1 é a mesma (até multiplicação por escalar) que a direção do normal de \Pi_2. Ou seja, \mathbf{n}_1 \parallel \mathbf{n}_2, onde \mathbf{n}_1 é um normal de \Pi_1 e \mathbf{n}_2 é um normal de \Pi_2.

Passo 4

Relação entre reta perpendicular e vetor normal: se a reta a é perpendicular ao plano \Pi_1, então o vetor diretor \mathbf{v}_a de a é um vetor normal a \Pi_1. Isto porque \mathbf{v}_a é perpendicular a todas as direções que existem em \Pi_1 (pela definição de reta perpendicular a plano). De forma análoga, se b é perpendicular a \Pi_2, seu vetor diretor \mathbf{v}_b é um vetor normal a \Pi_2.
Em símbolos:
\mathbf{v}_a \perp \text{(todas as direções de }\Pi_1),\qquad \mathbf{v}_b \perp \text{(todas as direções de }\Pi_2).çõçõ

Passo 5

Juntando o que foi dito: como \Pi_1 e \Pi_2 são paralelos, seus vetores normais são paralelos, isto é,
\mathbf{n}_1 \parallel \mathbf{n}_2.
Mas \mathbf{v}_a é um vetor normal a \Pi_1 e \mathbf{v}_b é um vetor normal a \Pi_2. Logo \mathbf{v}_a é paralelo a \mathbf{v}_b:
\mathbf{v}_a \parallel \mathbf{v}_b.
Se dois vetores diretores são paralelos, as retas que eles dirigem são paralelas (ou coincidentes). Portanto as retas a e b são paralelas.

Resposta

As retas a e b são paralelas.

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