Prove que duas retas, respectivamente perpendiculares a dois planos paralelos, são paralelas.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: temos dois planos paralelos
e
. Há duas retas,
e
, tais que
é perpendicular ao plano
e
é perpendicular ao plano
. A pergunta é: provar que as retas
e
são paralelas. Vou usar somente essas informações; não há dados numéricos nem figuras adicionais.
Passo 2
Primeiro vou explicar o que significa “reta perpendicular a um plano” de um jeito bem concreto. Dizemos que uma reta
é perpendicular a um plano
quando
intersecta
em um ponto
e, nesse ponto
, a reta
é perpendicular a toda reta que esteja contida em
e passe por
. Em outras palavras: se
é qualquer reta de
que passa por
, então
.
Esse fato implica algo importante: a direção da reta
é uma direção “normal” ao plano
. Vou dar nome a essa ideia: chamamos de vetor normal (ou simplesmente normal) a um plano qualquer vetor que seja perpendicular a todos os vetores que ficam no plano.
Passo 3
Agora explico a propriedade dos planos paralelos em termos dessa ideia de normal. Se dois planos
e
são paralelos, então eles têm a mesma orientação espacial — isto é, as direções que pertencem a
são as mesmas direções que pertencem a
, apenas deslocadas. Dessa característica segue que qualquer vetor que seja normal a
também será paralelo a qualquer vetor normal a
. Em linguagem curta: normas de planos paralelos são paralelas entre si.
Um modo simples de ver isso é: escolha duas direções independentes
e
contidas em
. Como
é paralela a
, existem vetores em
que são paralelos a
e a
. Um vetor que seja perpendicular a
e a
será perpendicular também às direções correspondentes em
; portanto a direção do normal de
é a mesma (até multiplicação por escalar) que a direção do normal de
. Ou seja,
, onde
é um normal de
e
é um normal de
.
Passo 4
Relação entre reta perpendicular e vetor normal: se a reta
é perpendicular ao plano
, então o vetor diretor
de
é um vetor normal a
. Isto porque
é perpendicular a todas as direções que existem em
(pela definição de reta perpendicular a plano). De forma análoga, se
é perpendicular a
, seu vetor diretor
é um vetor normal a
.
Em símbolos:
Passo 5
Juntando o que foi dito: como
e
são paralelos, seus vetores normais são paralelos, isto é,
Mas
é um vetor normal a
e
é um vetor normal a
. Logo
é paralelo a
:
Se dois vetores diretores são paralelos, as retas que eles dirigem são paralelas (ou coincidentes). Portanto as retas
e
são paralelas.
Resposta
As retas
e
são paralelas.