Prove que, se um plano \alpha é perpendicular a um plano \beta e uma reta de \alpha é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular a \beta.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
  • Dados:
    • Dois planos \alpha e \beta com \alpha\perp\beta.
    • A interseção dos planos é uma reta que vou chamar de \ell=\alpha\cap\beta.
    • Existe uma reta r contida em \alpha tal que r\perp\ell. (Para que uma reta seja perpendicular a outra, elas se intersectam; então r e \ell se cortam num ponto que chamo de O.)
  • Pedido:
    • Provar que r é perpendicular ao plano \beta; isto é, provar que r é perpendicular a qualquer reta contida em \beta que passe por O.

Passo 2

Plano de ataque (breve e prático): vou colocar a origem no ponto O e representar direções das retas por vetores. Vou usar o produto escalar (dot product) para expressar perpendicularidade entre vetores: dois vetores são perpendiculares se e só se o produto escalar entre eles é zero. Também vou usar o produto vetorial (cross product) para obter vetores normais aos planos. Tudo isso é uma maneira direta e natural de tratar perpendicularidade entre retas e planos em \mathbb{R}^3.
Antes de começar, lembro os conceitos que vou usar (explicadinhos):
  • Se uma reta tem direção dada por um vetor v, escrevemos a reta por sua direção v.
  • Dois vetores a e b são perpendiculares exatamente quando a\cdot b=0. Aqui a\cdot b é o produto escalar.
  • Se um plano é gerado por dois vetores não paralelos p e q, um vetor normal ao plano é p\times q (produto vetorial). Esse vetor normal é perpendicular a qualquer combinação linear de p e q, portanto a qualquer vetor do plano.
  • Identidade útil (produto mixto para produtos vetorial e escalar): (a\times b)\cdot(c\times d)=(a\cdot c)(b\cdot d)-(a\cdot d)(b\cdot c).Vou usar essa identidade para relacionar normais dos planos.

Passo 3

Escolho o ponto de interseção O como origem do sistema. Seja
  • u um vetor diretor da reta \ell=\alpha\cap\beta (ou seja, u aponta ao longo da interseção),
  • v um vetor diretor da reta r\subset\alpha (ou seja, r tem direção v e passa por O).
Como r\perp\ell, temos
u\cdot v=0.

Passo 4

Vou construir vetores normais aos planos \alpha e \beta.
  • O plano \alpha contém as direções u e v (pois \ell\subset\alpha e r\subset\alpha), portanto um vetor normal a \alpha é
n_\alpha = u\times v.
  • O plano \beta contém a direção u (porque \ell\subset\beta). Escolho no plano \beta outro vetor w que seja não paralelo a u e além disso ortogonal a u. (Isto é possível: no plano \beta há infinitas direções; entre elas podemos escolher uma que seja perpendicular a u.) Então u\cdot w=0 e w é vetor diretor de alguma reta em \beta que passa por O. Assim um vetor normal a \beta é
n_\beta = u\times w.
Observação: escolhi w com u\cdot w=0 só para simplificar os cálculos; qualquer base da \beta que contenha u pode ser trocada por uma base ortogonal u,w.

Passo 5

Como \alpha\perp\beta, os vetores normais aos planos são perpendiculares, ou seja
n_\alpha\cdot n_\beta=0.
Vou calcular esse produto escalar usando a identidade mencionada.
Aplicando a identidade com a=u,\; b=v,\; c=u,\; d=w, obtemos
(u\times v)\cdot(u\times w)=(u\cdot u)(v\cdot w)-(u\cdot w)(v\cdot u).

Passo 6

Usando as propriedades que já temos:
  • u\cdot v=0 (porque r\perp\ell),
  • u\cdot w=0 (escolhemos w assim),
a identidade do passo anterior reduz-se a
(u\times v)\cdot(u\times w)=(u\cdot u)(v\cdot w)-0\cdot 0 = (u\cdot u)\,(v\cdot w).
Mas como n_\alpha\cdot n_\beta=(u\times v)\cdot(u\times w)=0 (pela perpendicularidade dos planos), segue que
(u\cdot u)\,(v\cdot w)=0.
O produto u\cdot u é a norma ao quadrado de u, portanto é positivo (porque u é vetor diretor não-nulo). Assim necessariamente
v\cdot w=0.

Passo 7

Agora temos duas coisas importantes:
  • v\cdot u=0 (do passo 3),
  • v\cdot w=0 (do passo 6).
Qualquer vetor s que direcione uma reta de \beta que passe por O pode ser escrito como combinação linear
s = a\,u + b\,w
para alguns escalares a,b (pois u e w geram o plano \beta). Então o produto escalar de v com s é
v\cdot s = v\cdot (a u + b w) = a\,(v\cdot u) + b\,(v\cdot w) = a\cdot 0 + b\cdot 0 = 0.
Portanto v é perpendicular a qualquer vetor diretor s de uma reta de \beta que passe por O. Isto significa exatamente que a reta r (direção v) é perpendicular ao plano \beta.

Passo 8

Conclusão formal: A reta r\subset\alpha que é perpendicular à interseção \ell=\alpha\cap\beta é perpendicular a todo vetor diretor de \beta que passa por O; logo r\perp\beta. Prova completa.

Resposta

A reta r é perpendicular ao plano \beta.

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