Prove que, se um plano
é perpendicular a um plano
e uma reta de
é perpendicular à interseção dos planos, então essa reta é perpendicular a
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que segue.
-
Dados:
- Dois planos
e com . - A interseção dos planos é uma reta que vou chamar de
. - Existe uma reta
contida em tal que . (Para que uma reta seja perpendicular a outra, elas se intersectam; então e se cortam num ponto que chamo de .)
- Dois planos
-
Pedido:
- Provar que
é perpendicular ao plano ; isto é, provar que é perpendicular a qualquer reta contida em que passe por .
- Provar que
Passo 2
Plano de ataque (breve e prático): vou colocar a origem no ponto
e representar direções das retas por vetores. Vou usar o produto escalar (dot product) para expressar perpendicularidade entre vetores: dois vetores são perpendiculares se e só se o produto escalar entre eles é zero. Também vou usar o produto vetorial (cross product) para obter vetores normais aos planos. Tudo isso é uma maneira direta e natural de tratar perpendicularidade entre retas e planos em
.
Antes de começar, lembro os conceitos que vou usar (explicadinhos):
- Se uma reta tem direção dada por um vetor
, escrevemos a reta por sua direção . - Dois vetores
e são perpendiculares exatamente quando . Aqui é o produto escalar. - Se um plano é gerado por dois vetores não paralelos
e , um vetor normal ao plano é (produto vetorial). Esse vetor normal é perpendicular a qualquer combinação linear de e , portanto a qualquer vetor do plano. - Identidade útil (produto mixto para produtos vetorial e escalar):
Vou usar essa identidade para relacionar normais dos planos.
Passo 3
Escolho o ponto de interseção
como origem do sistema. Seja
-
um vetor diretor da reta (ou seja, aponta ao longo da interseção), -
um vetor diretor da reta (ou seja, tem direção e passa por ).
Como
, temos
Passo 4
Vou construir vetores normais aos planos
e
.
- O plano
contém as direções e (pois e ), portanto um vetor normal a é
- O plano
contém a direção (porque ). Escolho no plano outro vetor que seja não paralelo a e além disso ortogonal a . (Isto é possível: no plano há infinitas direções; entre elas podemos escolher uma que seja perpendicular a .) Então e é vetor diretor de alguma reta em que passa por . Assim um vetor normal a é
Observação: escolhi
com
só para simplificar os cálculos; qualquer base da
que contenha
pode ser trocada por uma base ortogonal
.
Passo 5
Como
, os vetores normais aos planos são perpendiculares, ou seja
Vou calcular esse produto escalar usando a identidade mencionada.
Aplicando a identidade com
, obtemos
Passo 6
Usando as propriedades que já temos:
-
(porque ), -
(escolhemos assim),
a identidade do passo anterior reduz-se a
Mas como
(pela perpendicularidade dos planos), segue que
O produto
é a norma ao quadrado de
, portanto é positivo (porque
é vetor diretor não-nulo). Assim necessariamente
Passo 7
Agora temos duas coisas importantes:
-
(do passo 3), -
(do passo 6).
Qualquer vetor
que direcione uma reta de
que passe por
pode ser escrito como combinação linear
para alguns escalares
(pois
e
geram o plano
). Então o produto escalar de
com
é
Portanto
é perpendicular a qualquer vetor diretor
de uma reta de
que passe por
. Isto significa exatamente que a reta
(direção
) é perpendicular ao plano
.
Passo 8
Conclusão formal: A reta
que é perpendicular à interseção
é perpendicular a todo vetor diretor de
que passa por
; logo
. Prova completa.
Resposta
A reta
é perpendicular ao plano
.