Prove o teorema das três perpendiculares: Se uma reta a é perpendicular a um plano \alpha em O, uma reta b de \alpha não passa por O e uma reta c de \alpha passa por O e é perpendicular a b em R, então para qualquer ponto S de a, a reta \overrightarrow{S R} é perpendicular a b.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara. Dados:
  • A reta a é perpendicular ao plano \alpha no ponto O.
  • A reta b pertence ao plano \alpha e não passa por O.
  • A reta c pertence ao plano \alpha, passa por O e é perpendicular a b em R.
  • S é um ponto qualquer de a.
    Pergunta: Mostrar que a reta \overrightarrow{SR} é perpendicular a b, para qualquer escolha de S sobre a.

Passo 2

Vamos escolher um sistema de coordenadas bem prático (isso não altera a generalidade da prova, só facilita as contas). Colocamos a origem em O, orientamos os eixos de modo que o plano \alpha seja o plano xy (ou seja, \alpha é dado por z=0) e a reta a seja o eixo z (ou seja, a é a reta com equações x=0,\;y=0). Assim:
  • Um ponto genérico de a tem coordenadas (0,0,s) para algum s\in\mathbb{R}; em particular S=(0,0,s).
  • Como R\in\alpha, escrevemos R=(x_R,y_R,0) para certas coordenadas x_R,y_R.
  • A reta b, sendo uma reta do plano \alpha que passa por R, tem um vetor diretor v=(v_x,v_y,0) (componentes no z nulas porque b\subset\alpha).
Explicação rápida (didática): essa escolha de sistema é possível porque podemos sempre girar e transladar o espaço euclidiano de modo que O vire a origem, a reta perpendicular ao plano vire o eixo z e o plano vire o plano z=0. Isso torna as coordenadas intuitivas.

Passo 3

Usamos a hipótese "a reta c passa por O e é perpendicular a b em R". O vetor \overrightarrow{OR} tem coordenadas (x_R,y_R,0) (porque vai de O=(0,0,0) a R=(x_R,y_R,0)). A perpendicularidade entre \overrightarrow{OR} e a direção de b significa, em coordenadas, que o produto escalar entre esses vetores é zero. Lembrete didático sobre produto escalar: para dois vetores \mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z) e \mathbf{w}=(w_x,w_y,w_z) define-se \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=u_x w_x+u_y w_y+u_z w_z. E \mathbf{u}\cdot\mathbf{w}=0 se, e somente se, \mathbf{u} é perpendicular a \mathbf{w}.
Aplicando isso aqui:
(x_R,y_R,0)\cdot(v_x,v_y,0)=x_R v_x + y_R v_y + 0\cdot 0 = 0.
Portanto
x_R v_x + y_R v_y = 0.

Passo 4

Agora calculamos o vetor \overrightarrow{SR}. Como S=(0,0,s) e R=(x_R,y_R,0), temos
\overrightarrow{SR} = R - S = (x_R,y_R,0)-(0,0,s) = (x_R,y_R,-s).
Tomamos o produto escalar entre \overrightarrow{SR} e o vetor diretor de b, v=(v_x,v_y,0):
\overrightarrow{SR}\cdot v = (x_R,y_R,-s)\cdot(v_x,v_y,0) = x_R v_x + y_R v_y + (-s)\cdot 0.
Pelo resultado do Passo 3 sabemos que x_R v_x + y_R v_y=0. Assim
\overrightarrow{SR}\cdot v = 0.

Passo 5

Como o produto escalar entre \overrightarrow{SR} e o vetor diretor de b é zero, concluímos que \overrightarrow{SR} é perpendicular a b. Isso vale para qualquer escolha de s, ou seja, para qualquer ponto S sobre a. Intuição: a projeção ortogonal de S no plano é O, a projeção de SR no plano é OR, e OR é perpendicular a b; a conta com produto escalar formaliza e garante que a perpendicularidade sobe para a reta espacial SR.

Resposta

\overrightarrow{SR}\perp b

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