Prove que se
então
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um grupo
com subgrupo
, se
então o coset à esquerda
está contido em
. O conteúdo é teoria de subgrupos e classes laterais (cosets).
Passo 2
Seja
. Por definição de coset à esquerda, existe algum
tal que
Passo 3
Como estamos assumindo que
, definimos
de modo que
.
Passo 4
Da definição de
temos
Passo 5
Substituindo em
o valor de
em função de
e
, obtemos
Passo 6
Como
e
e
é subgrupo, temos
e portanto
. Logo
.
Isso mostra que qualquer
também pertence a
, ou seja,
.