Prove que se b^-1 cdot a in H então b H subset a H.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um grupo G com subgrupo H, se ,b^-1!cdot ain H então o coset à esquerda bH está contido em aH. O conteúdo é teoria de subgrupos e classes laterais (cosets).

Passo 2

Seja xin bH. Por definição de coset à esquerda, existe algum hin H tal que
x = b,h

Passo 3

Como estamos assumindo que b^-1!cdot ain H, definimos
k := b^-1!a,
de modo que kin H.

Passo 4

Da definição de k temos
a = b,k

Passo 5

Substituindo em x=b,h o valor de b em função de a e k, obtemos
x = b,h = (a,k^-1),h = a,(k^-1h)

Passo 6

Como kin H e hin H e H é subgrupo, temos k^-1in H e portanto k^-1hin H. Logo x=a,(k^-1h)in aH.
Isso mostra que qualquer xin bH também pertence a aH, ou seja, bHsubset aH.

Resposta

bHsubset aH.

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