Prove que:
se (A, B) sim(C, D) então (C, A) sim(D, B).

Passo 1

O enunciado trabalha com segmentos orientados e a relação de equipolência entre eles: dizemos que dois segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes, escrevendo
(A,B)sim(C,D)
quando
AB=CD
Queremos mostrar que, se (A,B)sim(C,D), então também
(C,A)sim(D,B)
Para isso vamos usar a álgebra vetorial no plano, em particular a definição de vetor como diferença de posições e a propriedade de inverso.

Passo 2

Da definição de vetor posição, se representamos por A,B,C,D os vetores de posição dos pontos A,B,C,D, então
AB=B-A, CD=D-C
A hipótese (A,B)sim(C,D)
B-A=D-C
Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
A-B=C-D
Reagrupando, fica
A-C=B-D

Passo 3

A igualdade A-C=B-D equivale a
CA=DB
Pela definição de equipolência, isso significa exatamente
(C,A)sim(D,B)

Resposta

(C,A)sim(D,B).

Exercícios relacionados