Questāo 2. Scja A=(ai j)3 times 3 tal q u e det(Lambda)=100. Usc as propricdades do determinante para calcular o determinante da matriz
B=[lll 3 a11+2 a12 & a11-a12 & a13 3 a21+2 a22 & a21-a22 & a23 3 a31+2 a32 & a31-a32 & a33 ]
a) det(B)=100
b) det(B)=-300
c) det(B)=-200
d) det(B)=-800
e) det(B)=-500
f) det(B)=400
g) det(B)=600
h) det(B)=0

Passo 1

O enunciado dá uma matriz A=(aij)3times3 com det(A)=100 e pede det(B), onde
B=l[,3C1(A)+2C2(A),,,C1(A)-C2(A),,,C3(A)r]
e Cj(A) é a j-ésima coluna de A. Vamos usar a multilinearidade e alternância do determinante.

Passo 2

Escrevemos
det(B) =detl(3C1+2C2,;C1-C2,;C3r)
e aplicamos a propriedade de linearidade em cada coluna:
det(3C1+2C2,;C1-C2,;C3) =3,det(C1,;C1-C2,;C3) +2,det(C2,;C1-C2,;C3)

Passo 3

Calculamos det(C1,;C1-C2,;C3) usando distribuição:
det(C1,;C1-C2,;C3) =det(C1,C1,C3)-det(C1,C2,C3) =0-det(A) =-det(A)
Logo 3cdot(-det(A))=-3det(A).

Passo 4

De modo análogo,
det(C2,;C1-C2,;C3) =det(C2,C1,C3)-det(C2,C2,C3) =-det(A)-0 =-det(A),
e portanto 2cdot(-det(A))=-2det(A).

Passo 5

Somando os resultados:
det(B)=-3det(A)-2det(A)=-5det(A)=-5cdot100=-500

Resposta

e) -500

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