Prove que a equação de obtenção da massa molar média de uma mistura através da fração mássica é dada por: \left(\frac{1}{\bar{M}}\right)=\sum_{i}\left(\frac{w_{i}}{M_{i}}\right)

Passo 1

Temos uma mistura de várias espécies químicas i. Cada espécie i tem massa m_i, fração mássica
w_i = \frac{m_i}{m}
onde m=\sum_i m_i é a massa total da mistura, e massa molar M_i. Queremos mostrar que a massa molar média \bar{M}, definida por
\bar{M} = \frac{m}{n},
em que n é o número total de mols, satisfaz
\frac{1}{\bar{M}} \;=\;\sum_i \frac{w_i}{M_i}.

Passo 2

Pela definição de fração mássica,
w_i = \frac{m_i}{m} \quad\Longrightarrow\quad m_i = w_i\,m.

Passo 3

O número de mols da espécie i é
n_i = \frac{m_i}{M_i}.
Logo o total de mols da mistura é
n = \sum_i n_i = \sum_i \frac{m_i}{M_i}.

Passo 4

Pela definição de massa molar média,
\bar{M} = \frac{m}{n}.

Passo 5

Tomando o recíproco de \bar{M}, obtemos
\frac{1}{\bar{M}} = \frac{n}{m} = \frac{1}{m}\sum_i \frac{m_i}{M_i} = \sum_i \frac{m_i}{m}\,\frac{1}{M_i} = \sum_i \frac{w_i}{M_i}.

Resposta

\frac{1}{\bar{M}} \;=\;\sum_{i}\frac{w_{i}}{M_{i}}.

Exercícios relacionados