Prove que a equação sen (pi2 x)=1-x tem pelo menos uma raiz real.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
sen!l(tfracpi2xr)=1-x
possui pelo menos uma solução real.
O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que afirma que se uma função contínua f muda de sinal em extremos de um intervalo, então ela possui pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x)=sen!l(tfracpi2xr)-(1-x)=sen!l(tfracpi2xr)+x-1
Sabemos que a função sen é contínua e que xmapsto x-1 também é contínua. Logo, f é contínua em R.

Passo 3

Calculamos os valores de f em dois pontos convenientes, por exemplo x=-1 e x=1:
f(-1)=sen!l(-tfracpi2r)+(-1)-1=-1-1-1=-3<0,
f(1)=sen!l(tfracpi2r)+1-1=1+0=1>0

Passo 4

Como f é contínua em [-1,1] e f(-1)<0 enquanto f(1)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe cin(-1,1) tal que
f(c)=0
Isto é,
sen!l(tfracpi2cr)+c-1=0 Longrightarrow sen!l(tfracpi2cr)=1-c,
mostrando que c é raiz da equação dada.

Resposta

A equação senl(tfracpi2xr)=1-x tem pelo menos uma raiz real, situada em (-1,1).

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