Prove que a equação
tem pelo menos uma raiz real.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a equação
possui pelo menos uma solução real.
O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que afirma que se uma função contínua muda de sinal em extremos de um intervalo, então ela possui pelo menos uma raiz nesse intervalo.
O conteúdo envolvido é o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que afirma que se uma função contínua
Passo 2
Definimos a função
Sabemos que a função
é contínua e que
também é contínua. Logo,
é contínua em
.
Passo 3
Calculamos os valores de
em dois pontos convenientes, por exemplo
e
:
Passo 4
Como
é contínua em
e
enquanto
, pelo Teorema do Valor Intermediário existe
tal que
Isto é,
mostrando que
é raiz da equação dada.
Resposta
A equação
tem pelo menos uma raiz real, situada em
.