Prove que um espaço métrico ( M, d ) é conexo se, e somente se, toda função contínua f: M 0,1 é contante. Use isto para demonstrar (novamente) que:
  1. O fecho de um subconjunto conexo S subset M também é conexo.
  2. Se (Xalpha)alpha in Lambda são subconjuntos conexos de M com um ponto em comum, então cupalpha in Lambda Xalpha também é um conjunto conexo.

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência entre conectividade de um espaço métrico (M,d) e o fato de toda função contínua fcolon Mto0,1 ser constante. Aqui usamos que 0,1 tem a topologia discreta (ou seja, 0 e 1 são abertas). Em seguida, aplicamos essa equivalência para mostrar:
1) Se Ssubset M é conexo então o seu fecho overline S também é conexo.
2) Se XalphaalphainLambda são conexos e têm um ponto comum, então cupalphaXalpha é conexo.

Passo 2

Suponha que M seja conexo e seja fcolon Mto0,1 contínua. Como 0 e 1 são abertas em 0,1, temos
f^-1(0)e f^-1(1)
abertos em M, disjuntos e cuja união é M. Como M é conexo, não pode haver uma separação não trivial, logo um desses conjuntos deve ser vazio. Isso força f a assumir apenas um dos valores 0 ou 1, ou seja, f é constante.

Passo 3

Agora suponha que toda função contínua
Então são abertos, mostrando que é contínua. Mas não é constante, contradizendo a hipótese. Logo deve ser conexo.

Passo 4

Demonstração de ( 1): seja Ssubset M conexo. Se overline S fosse desconexo, existiria uma função contínua não constante
gcolon overline Sto0,1
Mas a restrição g|S seria contínua e não constante em S, contrariando a conexidade de S. Assim overline S é conexo.

Passo 5

Demonstração de ( 2): suponha que cada Xalpha seja conexo e que todos contenham um mesmo ponto p. Se X=cupalphaXalpha fosse desconexo, existiria
hcolon Xto0,1
contínua não constante. Para cada alpha, a restrição h|Xalpha é contínua em Xalpha, logo constante (pois Xalpha é conexo). Mas todas essas constantes coincidem em p, de modo que h seria constante em toda a união, contradição. Portanto X é conexo.

Resposta

1) O fecho de um subconjunto conexo S é conexo.
2) A união de subconjuntos conexos que têm um ponto em comum é conexa.

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