Prove que um espaço métrico ( ) é conexo se, e somente se, toda função contínua é contante. Use isto para demonstrar (novamente) que:
O fecho de um subconjunto conexo também é conexo.
Se são subconjuntos conexos de com um ponto em comum, então também é um conjunto conexo.
Passo 1
O enunciado pede para provar a equivalência entre conectividade de um espaço métrico e o fato de toda função contínua ser constante. Aqui usamos que tem a topologia discreta (ou seja, e são abertas). Em seguida, aplicamos essa equivalência para mostrar: ) Se é conexo então o seu fecho também é conexo. 2) Se XalphaalphainLambda são conexos e têm um ponto comum, então cupalphaXalpha é conexo.
Passo 2
Suponha que M seja conexo e seja fcolon Mto0,1 contínua. Como 0 e 1 são abertas em 0,1, temos
f^-1(0)e f^-1(1)
abertos em M, disjuntos e cuja união é M. Como M é conexo, não pode haver uma separação não trivial, logo um desses conjuntos deve ser vazio. Isso força f a assumir apenas um dos valores 0 ou 1, ou seja, f é constante.
Passo 3
Agora suponha que toda função contínua
Então são abertos, mostrando que é contínua. Mas não é constante, contradizendo a hipótese. Logo deve ser conexo.
Passo 4
Demonstração de (1): seja Ssubset M conexo. Se overline S fosse desconexo, existiria uma função contínua não constante
gcolon overline Sto0,1
Mas a restrição g|S seria contínua e não constante em S, contrariando a conexidade de S. Assim overline S é conexo.
Passo 5
Demonstração de (2): suponha que cada Xalpha seja conexo e que todos contenham um mesmo ponto p. Se X=cupalphaXalpha fosse desconexo, existiria
hcolon Xto0,1
contínua não constante. Para cada alpha, a restrição h|Xalpha é contínua em Xalpha, logo constante (pois Xalpha é conexo). Mas todas essas constantes coincidem em p, de modo que h seria constante em toda a união, contradição. Portanto X é conexo.
Resposta
1) O fecho de um subconjunto conexo S é conexo. 2) A união de subconjuntos conexos que têm um ponto em comum é conexa.