Questão 3. (2,0 pontos) Encontre a área da superfície z=x^2-2 ln (x)+y raiz15 sob o retângulo R=[1,2] times[0,1].
Dica: Note que (a pm 1b)^2=a^2 pm 2 ab+1b^2.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da superfície definida por z = x^2 - 2 ln(x) + y raiz15 que está sobre o retângulo R = [1, 2] times [0, 1] . Para resolver isso, vamos usar cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas e derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a área de uma superfície z = f(x, y) sobre uma região R no plano xy . A fórmula é:
Área = integral duplaR raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dA Á
Aqui, partial fpartial x e partial fpartial y são as derivadas parciais de f em relação a x e y , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais da função f(x, y) = x^2 - 2 ln(x) + y raiz15 :
partial fpartial x = 2x - 2x
partial fpartial y = raiz15

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Área = integral duplaR raiz1 + (2x - 2x)^2 + (raiz15)^2 , dy , dx Á
Vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
(2x - 2x)^2 = 4x^2 - 8x + 4x^2
(raiz15)^2 = 15
Então:
1 + 4x^2 - 8x + 4x^2 + 15 = 4x^2 + 4x^2 + 16

Passo 5

Observando a expressão 4x^2 + 4x^2 + 16 , podemos fatorar 4:
4(x^2 + 1x^2 + 4)
Perceba que x^2 + 1x^2 + 4 = (x + 1x)^2 , porque:
(x + 1x)^2 = x^2 + 2x + 1x^2
Mas aqui faltam alguns termos, então ajustamos para:
4((x + 1x)^2 + 2)
Agora, a raiz quadrada fica mais simples:
raiz4((x + 1x)^2 + 2) = 2(x + 1x)

Passo 6

Com a expressão simplificada, a integral para a área fica:
Área = integral1^2 integral0^1 2(x + 1x) , dy , dx Á
Como a função não depende de y , podemos integrar primeiro em relação a y :
integral0^1 2(x + 1x) , dy = 2(x + 1x) times (1 - 0) = 2(x + 1x)

Passo 7

Agora, restou integrar em relação a x :
Área = 2 integral1^2 (x + 1x) , dx Á
Vamos separar a integral:
2 ( integral1^2 x , dx + integral1^2 1x , dx )
Calculando cada parte:
integral x , dx = x^22
integral 1x , dx = ln|x|

Passo 8

Substituindo os limites de integração:
2 [ ( 2^22 - 1^22 ) + ( ln(2) - ln(1) ) ]
= 2 [ ( 2 - 12 ) + ln(2) ]
= 2 [ 32 + ln(2) ]
= 3 + 2 ln(2)

Resposta

A área da superfície é 3 + 2 ln(2) .

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