Questão 3. (2,0 pontos) Encontre a área da superfície sob o retângulo .
Dica: Note que .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar a área da superfície definida por que está sobre o retângulo . Para resolver isso, vamos usar cálculo de áreas de superfícies usando integrais duplas e derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para encontrar a área de uma superfície sobre uma região no plano . A fórmula é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais da função :
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da área:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz quadrada:
Então:
Passo 5
Observando a expressão , podemos fatorar 4:
Perceba que , porque:
Mas aqui faltam alguns termos, então ajustamos para:
Agora, a raiz quadrada fica mais simples:
Passo 6
Com a expressão simplificada, a integral para a área fica:
Área = integral1^2 integral0^1 2(x + 1x) , dy , dx Á
Como a função não depende de y , podemos integrar primeiro em relação a y :
integral0^1 2(x + 1x) , dy = 2(x + 1x) times (1 - 0) = 2(x + 1x)