Prove que se existir uma infinidade de índices n tais que \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|} \geq 1 então a série \sum a_{n} diverge. Se a_{n} \neq 0 para todo n e \left|a_{n+1} / a_{n}\right| \geq 1 para todo n>n_{0} então \sum a_{n} diverge. Por outro lado, a série 1 / 2+1 / 2+1 / 2^{2}+1 / 2^{2}+1 / 2^{3}+1 / 2^{3}+\cdots converge mas se tem a_{n+1} / a_{n}=1 para todo n ímpar.
Passo 1
Resumimos o enunciado: queremos provar duas condições que garantem a divergência da série \sum a_n:
Se existem infinitos índices n tais que \sqrt[n]{|a_n|}\ge1.
Se a_n\neq0 para todo n e existe n_0 tal que, para todo n>n_0, \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|\ge1.
O conteúdo é séries numéricas, usando o teste do termo geral (condição necessária de convergência: a_n\to0) e os testes da raiz e da razão.
Passo 2
Suponha que existam infinitos n com \sqrt[n]{|a_n|}\ge1. Então, para esses n,
Como há infinitos termos com |a_n|\ge1, o termo geral não tende a zero. Pela condição necessária para convergência de série, concluímos que \sum a_n diverge.
Passo 3
Suponha agora que a_n\neq0 e exista n_0 tal que, para todo n>n_0,
\Bigl|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigr|\;\ge\;1.
Isso implica
|a_{n+1}|\;\ge\;|a_n| \quad\text{para todo }n>n_0.
Iterando de n=n_0+1 até n=m, obtemos
|a_m|\;\ge\;|a_{n_0+1}|\;>\;0,
para todo m>n_0. Logo |a_n| não tende a zero e, novamente, a série diverge pelo teste do termo geral.
Passo 4
Para mostrar a limitação do teste da razão quando o quociente chega a 1, considere a série
logo a série converge. No entanto, para todo n ímpar n=2k-1,
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{1/2^k}{1/2^k} =1.
Isso mostra que, apesar de existirem infinitos n com \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|=1, a série ainda pode convergir; o teste da razão é inconclusivo quando o limite dos quocientes é igual a 1.
Resposta
A série diverge sempre que há infinitos n com \sqrt[n]{|a_n|}\ge1 ou, a partir de algum n_0, \bigl|a_{n+1}/a_n\bigr|\ge1, pois em ambos os casos o termo geral não tende a zero. Entretanto, o exemplo acima mostra que o teste da razão falha (fica inconclusivo) quando os quocientes sucessivos atingem exatamente 1.