Questão 2. Calcule e indique (justificando) em cada caso o método ou resultado utilizado:
(1,0 ponto) \int \cos ^{4} x \sin ^{2} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \cos^{4}x \,\sin^{2}x\,dx
O conteúdo é “integração de potências de seno e cosseno”. Vamos usar identidades de redução de potência para transformar o integrando em soma de cossenos de ângulos múltiplos de x, o que facilita a integração.

Passo 2

Usamos a identidade \sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x. Assim,
\cos^{4}x\,\sin^{2}x = \cos^{4}x\,(1-\cos^{2}x) = \cos^{4}x - \cos^{6}x.
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\int \cos^{4}x\,\sin^{2}x\,dx = \int \cos^{4}x\,dx \;-\;\int \cos^{6}x\,dx.

Passo 3

Agora usamos as fórmulas de redução de potência:
\cos^{4}x = \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}, \quad \cos^{6}x = \frac{10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) + \cos(6x)}{32}.
Substituindo:
\int \cos^{4}x\,dx = \int \frac{3 + 4\cos(2x) + \cos(4x)}{8}\,dx,
\int \cos^{6}x\,dx = \int \frac{10 + 15\cos(2x) + 6\cos(4x) + \cos(6x)}{32}\,dx.

Passo 4

Integramos termo a termo:
  1. Para \cos^{4}x:
\int \cos^{4}x\,dx = \frac{1}{8}\Bigl(3x + 4\cdot\frac{\sin(2x)}{2} + \frac{\sin(4x)}{4}\Bigr) = \frac{3x}{8} + \frac{\sin(2x)}{4} + \frac{\sin(4x)}{32}.
  1. Para \cos^{6}x:
\int \cos^{6}x\,dx = \frac{1}{32}\Bigl(10x + 15\cdot\frac{\sin(2x)}{2} +6\cdot\frac{\sin(4x)}{4} + \frac{\sin(6x)}{6}\Bigr)
= \frac{5x}{16} + \frac{15\,\sin(2x)}{64} + \frac{3\,\sin(4x)}{64} + \frac{\sin(6x)}{192}.
Portanto,
\int \cos^{4}x\,\sin^{2}x\,dx = \Bigl(\tfrac{3x}{8} + \tfrac{\sin(2x)}{4} + \tfrac{\sin(4x)}{32}\Bigr) - \Bigl(\tfrac{5x}{16} + \tfrac{15\,\sin(2x)}{64} + \tfrac{3\,\sin(4x)}{64} + \tfrac{\sin(6x)}{192}\Bigr).

Passo 5

Fazendo as operações:
\frac{3x}{8} - \frac{5x}{16} = \frac{x}{16},\quad \frac{\sin(2x)}{4} - \frac{15\,\sin(2x)}{64} = \frac{\sin(2x)}{64},
\frac{\sin(4x)}{32} - \frac{3\,\sin(4x)}{64} = -\frac{\sin(4x)}{64},
e sobra o termo -\tfrac{\sin(6x)}{192}. Assim,
\int \cos^{4}x\,\sin^{2}x\,dx = \frac{x}{16} + \frac{\sin(2x)}{64} - \frac{\sin(4x)}{64} - \frac{\sin(6x)}{192} + C.

Resposta

\boxed{\int \cos^{4}x\,\sin^{2}x\,dx = \frac{x}{16} + \frac{\sin(2x)}{64} - \frac{\sin(4x)}{64} - \frac{\sin(6x)}{192} + C.}

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