Questão 2. Calcule e indique (justificando) em cada caso o método ou resultado utilizado:
( 1,0 ponto) \int e^{(-2 x)} \sin x d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int e^{-2x}\sin x\,dx
e devemos indicar o método usado. Aqui vamos aplicar integração por partes duas vezes, gerando uma equação que nos permite resolver para a própria integral.

Passo 2

Defina
I = \int e^{-2x}\sin x\,dx.
Aplique integração por partes escolhendo
u = e^{-2x},\quad dv = \sin x\,dx.
Então
du = -2e^{-2x}\,dx,\quad v = -\cos x,
e
I = uv - \int v\,du = -e^{-2x}\cos x - \int\bigl(-\cos x\bigr)\bigl(-2e^{-2x}\bigr)\,dx = -e^{-2x}\cos x - 2\int e^{-2x}\cos x\,dx.
Chame
J = \int e^{-2x}\cos x\,dx,
ficando
I = -e^{-2x}\cos x - 2J.

Passo 3

Agora calcule
J = \int e^{-2x}\cos x\,dx
por partes, escolhendo
u = e^{-2x},\quad dv = \cos x\,dx.
Então
du = -2e^{-2x}\,dx,\quad v = \sin x,
e
J = uv - \int v\,du = e^{-2x}\sin x - \int \sin x\,\bigl(-2e^{-2x}\bigr)\,dx = e^{-2x}\sin x + 2\int e^{-2x}\sin x\,dx.
Como \int e^{-2x}\sin x\,dx = I, obtemos
J = e^{-2x}\sin x + 2I.

Passo 4

Substitua J em I = -e^{-2x}\cos x -2J:
I = -e^{-2x}\cos x -2\bigl(e^{-2x}\sin x + 2I\bigr) = -e^{-2x}\cos x -2e^{-2x}\sin x -4I.
Agrupando os termos em I:
I + 4I = -e^{-2x}\bigl(\cos x + 2\sin x\bigr) \quad\Rightarrow\quad 5I = -e^{-2x}\bigl(\cos x + 2\sin x\bigr).
Logo
I = -\frac{e^{-2x}\bigl(\cos x + 2\sin x\bigr)}{5} + C.

Resposta

\int e^{-2x}\sin x\,dx = -\frac{e^{-2x}\bigl(\cos x + 2\sin x\bigr)}{5} + C,
usando integração por partes duas vezes e resolução da equação para I.

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