(a) Suponha que g e h são contínuas em a, e que g(a)=h(a). Defina f(x) como g(x) se x >= a e h(x) se x <= a. Prove que f é contínua em a.
(b) Suponha que g é contínua em [a, b] e h é contínua em [b, c] e g(b)=h(b). Seja f(x) igual a g(x) para x em [a, b] e h(x) para x em [b, c]. Mostre que f é contínua em [a, c]. (Assim, funções contínuas podem ser “coladas”.)

Passo 1

O enunciado trata do chamado “lema da colagem” (ou “gluing lemma”) para continuidade. No item (a) temos duas funções
Queremos mostrar que . No item (b) estendemos o raciocínio a um intervalo partido em dois: contínua em , contínua em , , e
Mostraremos que . Para isso usaremos a definição de continuidade e o resultado do item (a).

Passo 2

Prova de (a). Para provar que f é contínua em a usamos a definição: dado epsilon>0, queremos de<a>0 tal que
|x-a|<de<aLongrightarrow |f(x)-f(a)|<epsilon
Como g é contínua em a, existe de<a1>0 com
|x-a|<de<a1Longrightarrow |g(x)-g(a)|<epsilon
Analogamente, como h é contínua em a, existe de<a2>0 com
|x-a|<de<a2Longrightarrow |h(x)-h(a)|<epsilon
Escolhemos
de<a=min(de<a1,de<a2)
Então, se |x-a|<de<a, há dois casos:
  • Se x>= a, então f(x)=g(x) e f(a)=g(a), logo |f(x)-f(a)|=|g(x)-g(a)|<epsilon
  • Se x<= a, então f(x)=h(x) e f(a)=h(a), logo |f(x)-f(a)|=|h(x)-h(a)|<epsilon
Portanto, em ambos os casos |f(x)-f(a)|<epsilon, e f é contínua em a.

Passo 3

Prova de (b) – continuidade em pontos distintos de b.
Para xin(a,b), temos f(x)=g(x) e g é contínua em [a,b], então f é contínua em todo (a,b).
Para xin(b,c), temos f(x)=h(x) e h é contínua em [b,c], então f é contínua em todo (b,c).

Passo 4

Prova de (b) – continuidade em b.
No ponto b, a definição de f é exatamente a do item (a) com a substituído por b. Como g e h são contínuas em b e g(b)=h(b), pelo resultado do item (a) segue que f é contínua em b.

Passo 5

Prova de (b) – continuidade nos extremos a e c.
Em a, para x>= a vale f(x)=g(x) e g é contínua em a, de modo que o limite pela direita em a confere com f(a). Isso basta para continuidade em a quando consideramos o domínio fechado [a,c].
Em c, para x<= c vale f(x)=h(x) e h é contínua em c, garantindo o mesmo pela esquerda.
Como mostramos continuidade em (a,b), em (b,c), em b, em a e em c, concluímos que f é contínua em todo [a,c].

Resposta

(a) A função f é contínua em a.
(b) A função f é contínua em todo [a,c].

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