(a) Suponha que
e
são contínuas em
, e que
. Defina
como
se
e
se
. Prove que
é contínua em
.
(b) Suponha que
é contínua em
e
é contínua em
e
. Seja
igual a
para
em
e
para
em
. Mostre que
é contínua em
. (Assim, funções contínuas podem ser “coladas”.)
(b) Suponha que
Passo 1
O enunciado trata do chamado “lema da colagem” (ou “gluing lemma”) para continuidade. No item (a) temos duas funções
Queremos mostrar que . No item (b) estendemos o raciocínio a um intervalo partido em dois:
contínua em
,
contínua em
,
, e
Mostraremos que . Para isso usaremos a definição
–
de continuidade e o resultado do item (a).
Passo 2
Prova de (a). Para provar que
é contínua em
usamos a definição: dado
, queremos
tal que
Como
é contínua em
, existe
com
Analogamente, como
é contínua em
, existe
com
Escolhemos
Então, se
, há dois casos:
- Se
, então e , logo - Se
, então e , logo
Portanto, em ambos os casos
, e
é contínua em
.
Passo 3
Prova de (b) – continuidade em pontos distintos de
.
Para , temos
e
é contínua em
, então
é contínua em todo
.
Para , temos
e
é contínua em
, então
é contínua em todo
.
Para
Para
Passo 4
Prova de (b) – continuidade em
.
No ponto , a definição de
é exatamente a do item (a) com
substituído por
. Como
e
são contínuas em
e
, pelo resultado do item (a) segue que
é contínua em
.
No ponto
Passo 5
Prova de (b) – continuidade nos extremos
e
.
Em , para
vale
e
é contínua em
, de modo que o limite pela direita em
confere com
. Isso basta para continuidade em
quando consideramos o domínio fechado
.
Em , para
vale
e
é contínua em
, garantindo o mesmo pela esquerda.
Em
Em
Como mostramos continuidade em
, em
, em
, em
e em
, concluímos que
é contínua em todo
.
Resposta
(a) A função
é contínua em
.
(b) A função é contínua em todo
.
(b) A função