Prove que
é contínua em
.
Passo 1
Vamos analisar o problema: Precisamos provar que a função
é contínua no ponto
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e propriedades de continuidade. Precisaremos avaliar o limite de $ f(x,y) $ quando
se aproxima de
e verificar se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma função é contínua em um ponto. Dizemos que $ f(x,y) $ é contínua em
se:
No nosso caso, queremos que:
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ f(x,y) $ quando
tende a
:
Podemos simplificar trazendo o $ \frac{1}{\ln 2} $ para fora do limite:
Passo 4
Agora, vamos analisar cada fator separadamente. Sabemos que $ \lim_{x \to 0} (2^{x}-1) = 0 $ porque $ 2^{0} - 1 = 0 $.
Também, sabemos que $ \lim_{y \to 0} \sin y = 0 $.
Portanto, o produto desses limites também tende a zero.
Passo 5
Assim, temos que:
Multiplicando pelo fator constante $ \frac{1}{\ln 2} $, obtemos:
Passo 6
Concluímos que:
Portanto, $ f(x,y) $ é contínua no ponto
.
Resposta
A função $ f(x,y) $ é contínua em
.