Prove que
f(x,y)= (2^x-1)sin yln 2 & (x,y) neq (0,0) 0 & (x,y)=(0,0)
é contínua em (0,0).

Passo 1

Vamos analisar o problema: Precisamos provar que a função
f(x,y)= (2^x-1)sin yln 2 & (x,y) neq (0,0) 0 & (x,y)=(0,0)
é contínua no ponto (0,0).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites em funções de duas variáveis e propriedades de continuidade. Precisaremos avaliar o limite de $ f(x,y) $ quando f(x,y) se aproxima de (x,y) e verificar se esse limite é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa que uma função é contínua em um ponto. Dizemos que $ f(x,y) $ é contínua em f(x,y) se:
(a,b)
No nosso caso, queremos que:
lim(x,y) to (a,b) f(x,y) = f(a,b)

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ f(x,y) $ quando f(x,y) tende a (x,y):
(0,0)
Podemos simplificar trazendo o $ \frac{1}{\ln 2} $ para fora do limite:
lim(x,y) to (0,0) (2^x-1)sin yln 2

Passo 4

Agora, vamos analisar cada fator separadamente. Sabemos que $ \lim_{x \to 0} (2^{x}-1) = 0 $ porque $ 2^{0} - 1 = 0 $.
Também, sabemos que $ \lim_{y \to 0} \sin y = 0 $.
Portanto, o produto desses limites também tende a zero.

Passo 5

Assim, temos que:
lim(x,y) to (0,0) (2^x-1)sin y = 0
Multiplicando pelo fator constante $ \frac{1}{\ln 2} $, obtemos:
1ln 2

Passo 6

Concluímos que:
lim(x,y) to (0,0) f(x,y) = 0 = f(0,0)
Portanto, $ f(x,y) $ é contínua no ponto f(x,y) .

Resposta

A função $ f(x,y) $ é contínua em f(x,y) .

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