Use qualquer método para calcular o limite ou determine que ele não existe.
lim(x,y) (0,0) x^4-y^4raizx^4+x^2y^2+y^4

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite\n\n\n\n
lim(x,y)to(0,0)x^4-y^4raizx^4+x^2y^2+y^4.\n\nTema: limites em várias variáveis. Vamos usar coordenadas polares para simplificar.

Passo 2

Trocar para coordenadas polares, definindo\n\n\n\n
x=rcostheta e y=rsintheta. Quando (x,y)to(0,0) temos rto0 e theta fica livre.

Passo 3

Substituindo no numerador:\n x^4-y^4 = r^4(cos^4theta - sin^4theta) = r^4,(cos^2theta - sin^2theta)(cos^2theta + sin^2theta) = r^4cos2theta

Passo 4

Substituindo no denominador:\n x^4+x^2y^2+y^4 = r^4(cos^4theta + cos^2thetasin^2theta + sin^4theta) = r^4l(1 - cos^2thetasin^2thetar),
então
raizx^4+x^2y^2+y^4 = r^2raiz1 - cos^2thetasin^2theta

Passo 5

Agora o quociente fica\n x^4-y^4raizx^4+x^2y^2+y^4 = r^4cos2thetar^2raiz1 - cos^2thetasin^2theta = r^2cos2thetaraiz1 - cos^2thetasin^2theta
O fator angular cos2thetaraiz1 - cos^2thetasin^2theta é sempre limitado (o denominador nunca zera).

Passo 6

Como rto0, temos r^2to0 e o produto de r^2 por um termo limitado tende a 0. Logo o limite existe e vale 0.

Resposta

0

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