Prove os seguintes teoremas de forma direta:
Se
é par e
é par, então
é par.
Se
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que, sob certas hipóteses, a soma
é par.
Informações dadas (hipóteses que podemos usar): é par e
é par.
Assunção explícita necessária (o enunciado pressupõe isso): são números inteiros.
Informações dadas (hipóteses que podemos usar):
Assunção explícita necessária (o enunciado pressupõe isso):
Passo 2
Definição útil e básica que vamos usar: dizemos que um inteiro
é par quando existe um inteiro
tal que
Isto significa que “par” é exatamente a propriedade de ser múltiplo de
. Também usaremos sem medo que a soma e a diferença de inteiros é novamente um inteiro (fechamento dos inteiros por adição e subtração).
Passo 3
Aplicando a definição de número par às hipóteses: como
é par, existe um inteiro
tal que
Como
é par, existe um inteiro
tal que
Passo 4
Somamos as duas igualdades obtidas em bloco para explorar uma combinação que envolva
:
No lado esquerdo a soma simplifica para
. No direito fatoramos
:
Passo 5
Reescrevemos para isolar
: subtraindo
de ambos os lados obtemos
Fatorando
no lado direito,
Agora observe que
e
são inteiros (definidos no Passo 3) e
é inteiro por hipótese; logo
é um inteiro (fechamento dos inteiros). Chamando esse inteiro de
, temos
Passo 6
Concluímos, pela definição de número par (Passo 2), que
é múltiplo de
, ou seja,
é par. (Se quiser, experimente com números concretos: por exemplo,
. Aqui
é par e
é par; então
é par — bate com a prova.)