Prove os seguintes teoremas de forma direta:
Se m+n é par e n+p é par, então m+p é par.

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que, sob certas hipóteses, a soma \,m+p\, é par.
Informações dadas (hipóteses que podemos usar): \,m+n\, é par e \,n+p\, é par.
Assunção explícita necessária (o enunciado pressupõe isso): m,n,p são números inteiros.

Passo 2

Definição útil e básica que vamos usar: dizemos que um inteiro x é par quando existe um inteiro k tal que
x = 2k.
Isto significa que “par” é exatamente a propriedade de ser múltiplo de 2. Também usaremos sem medo que a soma e a diferença de inteiros é novamente um inteiro (fechamento dos inteiros por adição e subtração).

Passo 3

Aplicando a definição de número par às hipóteses: como \,m+n\, é par, existe um inteiro a tal que
m+n = 2a.
Como \,n+p\, é par, existe um inteiro b tal que
n+p = 2b.

Passo 4

Somamos as duas igualdades obtidas em bloco para explorar uma combinação que envolva m+p:
(m+n) + (n+p) = 2a + 2b.
No lado esquerdo a soma simplifica para m + 2n + p. No direito fatoramos 2:
m + 2n + p = 2(a+b).

Passo 5

Reescrevemos para isolar m+p: subtraindo 2n de ambos os lados obtemos
m + p = 2(a+b) - 2n.
Fatorando 2 no lado direito,
m + p = 2\bigl((a+b)-n\bigr).
Agora observe que a e b são inteiros (definidos no Passo 3) e n é inteiro por hipótese; logo (a+b)-n é um inteiro (fechamento dos inteiros). Chamando esse inteiro de c = (a+b)-n, temos
m + p = 2c.

Passo 6

Concluímos, pela definição de número par (Passo 2), que m+p é múltiplo de 2, ou seja, m+p é par. (Se quiser, experimente com números concretos: por exemplo, m=3,n=1,p=5. Aqui m+n=4 é par e n+p=6 é par; então m+p=8 é par — bate com a prova.)

Resposta

m+p é par.

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