A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente, com média de 990 g e desvio padrão de 10 g . Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976 g .
a) Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada? (R=0,03785)
b) Nas condições do item a, qual a probabilidade de que, em 20 latas observadas, 3 sejam rejeitadas? (R=0,14347)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas.
Dados fornecidos:
\text{Peso das latas } X \sim N(\mu=990,\\ \sigma=10).
Uma lata é rejeitada se tiver peso menor que \,976 g. Ou seja, o evento “rejeitada” é X<976.
Perguntas:
  1. Qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada?
  2. Nas mesmas condições, qual a probabilidade de que, em 20 latas observadas, exatamente 3 sejam rejeitadas?

Passo 2

Primeiro precisamos calcular a probabilidade de uma lata ser rejeitada (probabilidade de sucesso numa tentativa, que chamarei de p).
Definição: se X é normal com média \mu e desvio padrão \sigma, para achar P(X<a) transformamos para a normal padrão Z\sim N(0,1) usando a transformação
Z = \frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui queremos p = P(X<976). Aplicando a transformação:
Z = \frac{976-990}{10}=\frac{-14}{10}=-1,4.
Logo
p = P(X<976)=P\big(Z<-1{,}4\big).
Usando tabela da normal padrão ou calculadora, sabemos que
P\big(Z<-1{,}4\big)\approx 0{,}080756.
Portanto a probabilidade de uma lata ser rejeitada é
p\approx 0{,}080756.

Passo 3

Resolvendo o item (a). Interpretação: “a décima lata observada seja a primeira rejeitada” significa que as primeiras nove latas não foram rejeitadas e a décima foi rejeitada. Assumimos independência entre latas (cada lata com mesma p).
Modelo e fórmula: isso é um caso da distribuição geométrica (versão que conta o número da tentativa do primeiro sucesso). A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na décima tentativa é
P(\text{1ª rejeitada em 10})=(1-p)^{9}\,p,ª
porque precisamos de 9 falhas seguidas ( 1-p) e então um sucesso p.
Cálculo numérico:
1-p \approx 1-0{,}080756=0{,}919244.
(1-p)^{9}\approx 0{,}919244^{9}\approx 0{,}46853\quad(\text{cálculo numérico}),áé
(1-p)^{9}p \approx 0{,}46853\times 0{,}080756\approx 0{,}03785.
Portanto a probabilidade pedida no item (a) é aproximadamente 0{,}03785, que confere com o valor indicado.

Passo 4

Resolvendo o item (b). Interpretação: em n=20 latas independentes, queremos a probabilidade de exatamente k=3 rejeitadas. Isso segue a distribuição binomial.
Modelo e fórmula: se Y\sim \text{Binomial}(n,p), então
P(Y=k)=\binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{n-k},
onde \binom{n}{k} é o número de maneiras de escolher quais k latas (das n) são rejeitadas.
Aplicando com n=20, k=3, p\approx 0{,}080756:
\binom{20}{3}=\frac{20\cdot19\cdot18}{3\cdot2\cdot1}=1140.
p^{3}\approx 0{,}080756^{3}\approx 0{,}0005265,
(1-p)^{17}\approx 0{,}919244^{17}\approx 0{,}2388.
Agora multiplica:
P(Y=3)\approx 1140 \times 0{,}0005265 \times 0{,}2388 \approx 0{,}14347.
Portanto a probabilidade pedida no item (b) é aproximadamente 0{,}14347, que também confere com o valor indicado.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova:
  • Primeiro calcule sempre p=P(\text{rejeitada}) a partir da normal; essa é a peça-chave que entra tanto no geométrico quanto no binomial.
  • Para o item (a) pense em “falhas até o primeiro sucesso” → fórmula geométrica (1-p)^{k-1}p.
  • Para o item (b) pense em “exatamente k sucessos em n tentativas” → fórmula binomial \binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.
  • Use tabela da normal padrão ou calculadora para obter \Phi(z). Se estiver sem calculadora, memorize alguns valores comuns (por ex. z=1{,}4 dá cerca de 0{,}91924 à direita, então à esquerda é 0{,}08076).
Você está indo bem — respira fundo e aplica essas fórmulas passo a passo na prova que dá certo!

Resposta

(a) 0,03785\n
(b) 0,14347

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