A quantidade de óleo contida em cada lata fabricada por uma indústria tem peso distribuído normalmente, com média de 990 g e desvio padrão de 10 g . Uma lata é rejeitada no comércio se tiver peso menor que 976 g .
a) Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada? (R=0,03785)
b) Nas condições do item a, qual a probabilidade de que, em 20 latas observadas, 3 sejam rejeitadas? (R=0,14347)
a) Se observarmos uma sequência casual destas latas em uma linha de produção, qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada? (R=0,03785)
b) Nas condições do item a, qual a probabilidade de que, em 20 latas observadas, 3 sejam rejeitadas? (R=0,14347)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz duas perguntas.
Dados fornecidos:
Uma lata é rejeitada se tiver peso menor que
g. Ou seja, o evento “rejeitada” é
.
Perguntas:
- Qual a probabilidade de que a décima lata observada seja a primeira rejeitada?
- Nas mesmas condições, qual a probabilidade de que, em 20 latas observadas, exatamente 3 sejam rejeitadas?
Passo 2
Primeiro precisamos calcular a probabilidade de uma lata ser rejeitada (probabilidade de sucesso numa tentativa, que chamarei de
).
Definição: se
é normal com média
e desvio padrão
, para achar
transformamos para a normal padrão
usando a transformação
Aqui queremos
. Aplicando a transformação:
Logo
Usando tabela da normal padrão ou calculadora, sabemos que
Portanto a probabilidade de uma lata ser rejeitada é
Passo 3
Resolvendo o item (a). Interpretação: “a décima lata observada seja a primeira rejeitada” significa que as primeiras nove latas não foram rejeitadas e a décima foi rejeitada. Assumimos independência entre latas (cada lata com mesma
).
Modelo e fórmula: isso é um caso da distribuição geométrica (versão que conta o número da tentativa do primeiro sucesso). A probabilidade de o primeiro sucesso ocorrer na décima tentativa é
porque precisamos de 9 falhas seguidas (
) e então um sucesso
.
Cálculo numérico:
Portanto a probabilidade pedida no item (a) é aproximadamente
, que confere com o valor indicado.
Passo 4
Resolvendo o item (b). Interpretação: em
latas independentes, queremos a probabilidade de exatamente
rejeitadas. Isso segue a distribuição binomial.
Modelo e fórmula: se
, então
onde
é o número de maneiras de escolher quais
latas (das
) são rejeitadas.
Aplicando com
,
,
:
Agora multiplica:
Portanto a probabilidade pedida no item (b) é aproximadamente
, que também confere com o valor indicado.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova:
- Primeiro calcule sempre
a partir da normal; essa é a peça-chave que entra tanto no geométrico quanto no binomial. - Para o item (a) pense em “falhas até o primeiro sucesso” → fórmula geométrica
. - Para o item (b) pense em “exatamente
sucessos em tentativas” → fórmula binomial . - Use tabela da normal padrão ou calculadora para obter
. Se estiver sem calculadora, memorize alguns valores comuns (por ex. dá cerca de à direita, então à esquerda é ).
Você está indo bem — respira fundo e aplica essas fórmulas passo a passo na prova que dá certo!
Resposta
(a)
\n
(b)
(b)