Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
y^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4 ; y(0)=1 ; y^prime(0)=1

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos o PVI
y'' - 2y' + y = t e^t + 4, y(0)=1, y'(0)=1
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
  1. Encontrar a solução homogênea yh resolvendo a equação característica.
  2. Determinar uma solução particular yp por coeficientes indeterminados, somando as contribuições de t e^t e de 4.
  3. Impor as condições iniciais para obter a solução particular do PVI.

Passo 2

A solução homogênea yh vem da equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0
As raízes são r=1 com multiplicidade dupla. Logo,
yh(t) = C1 e^t + C2,t e^t

Passo 3

Para o termo t e^t há ressonância de ordem 2 (já que e^t e t e^t pertencem a yh). Assim propomos
yp1(t) = l(a,t^3 + b,t^2r)e^t
Aplicando o operador L[y]=y''-2y'+y em yp1 e igualando ao termo t e^t, obtemos o sistema
6a = 1, 2b = 0
de onde
a = tfrac16, b = 0 Longrightarrow yp1(t) = tfrac16t^3e^t

Passo 4

Para o termo constante 4, propomos yp2(t)=D. Então
L[D]=D''-2D'+D = D = 4 Longrightarrow D=4,
isto é,
yp2(t) = 4

Passo 5

A solução geral da EDO é
y(t) = yh(t) + yp1(t) + yp2(t) = C1e^t + C2,t e^t + tfrac16t^3e^t + 4

Passo 6

Vamos aplicar y(0)=1 e y'(0)=1. Primeiro,
y(0)=C1+4=1 Longrightarrow C1=-3
Agora calculamos
y'(t) = C1e^t + C2(t+1)e^t + e^tl(tfrac16t^3+tfrac12t^2r),
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y'(0)=C1+C2=1 Longrightarrow -3 + C2 = 1 Longrightarrow C2=4

Passo 7

Substituindo C1=-3 e C2=4 na solução geral, obtemos a solução particular do PVI:
y(t) = -3e^t + 4t e^t + tfrac16t^3e^t + 4

Resposta

y(t) = e^tl(-3 + 4t + tfrac16t^3r) + 4

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