Resolva as seguintes EDOs determinando a solução geral e, quando houver condições iniciais do PVI, a solução particular.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos o PVI
Este é um problema de EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos:
- Encontrar a solução homogênea
resolvendo a equação característica. - Determinar uma solução particular
por coeficientes indeterminados, somando as contribuições de e de . - Impor as condições iniciais para obter a solução particular do PVI.
Passo 2
A solução homogênea
vem da equação característica
As raízes são
com multiplicidade dupla. Logo,
Passo 3
Para o termo
há ressonância de ordem 2 (já que
e
pertencem a
). Assim propomos
Aplicando o operador
em
e igualando ao termo
, obtemos o sistema
de onde
Passo 4
Para o termo constante
, propomos
. Então
isto é,
Passo 5
A solução geral da EDO é
Passo 6
Vamos aplicar
e
. Primeiro,
Agora calculamos
logo
Passo 7
Substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular do PVI: