Prove que, se \frac{a}{b}=\frac{c}{d} entāo
\frac{a}{c}=\frac{b}{d} e \frac{d}{b}=\frac{c}{a}

Passo 1

O enunciado afirma que \tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d}. Isso é um problema de proporções de números, onde vamos usar a propriedade fundamental da igualdade de frações: se \tfrac{a}{b} = \tfrac{c}{d} então ocorre a igualdade dos produtos cruzados.

Passo 2

Da igualdade de frações obtemos, por multiplicar em cruz,
a\cdot d = b\cdot c.

Passo 3

Para provar que \tfrac{a}{c} = \tfrac{b}{d}, basta dividir ambos os lados da igualdade a\,d = b\,c por c\,d. Assim:
\frac{a\,d}{c\,d} \;=\;\frac{b\,c}{c\,d} \quad\Longrightarrow\quad \frac{a}{c} = \frac{b}{d}.

Passo 4

Para provar que \tfrac{d}{b} = \tfrac{c}{a}, dividimos a mesma igualdade a\,d = b\,c por a\,b. Assim:
\frac{a\,d}{a\,b} \;=\;\frac{b\,c}{a\,b} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{b} = \frac{c}{a}.

Resposta

Foi demonstrado que, a partir de \tfrac{a}{b}=\tfrac{c}{d}, segue-se \tfrac{a}{c}=\tfrac{b}{d} e \tfrac{d}{b}=\tfrac{c}{a}.

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