Prove que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\operatorname{cossec}(\mathrm{x}))=-\operatorname{cossec}(\mathrm{x}) \operatorname{cotg}(\mathrm{x})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\operatorname{cossec}(x)\bigr) =-\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x).
O conteúdo aqui é derivação de funções trigonométricas, usando a regra do poder e a regra da cadeia, além de expressões recíprocas.

Passo 2

Reescrevemos
\operatorname{cossec}(x)=\frac{1}{\sin x}=(\sin x)^{-1},
o que nos permite aplicar a regra do poder.

Passo 3

Aplicando a regra do poder junto com a regra da cadeia, temos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl((\sin x)^{-1}\bigr) =-1\cdot(\sin x)^{-2}\cdot\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\sin x) =-(\sin x)^{-2}\,\cos x.

Passo 4

Escrevendo em forma de fração, obtemos
-(\sin x)^{-2}\,\cos x =-\frac{\cos x}{\sin^2 x}.

Passo 5

Agora usamos as definições
\frac{1}{\sin x}=\operatorname{cossec}(x) \quad\text{e}\quad \frac{\cos x}{\sin x}=\operatorname{cotg}(x),
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-\frac{\cos x}{\sin^2 x} =-\frac{1}{\sin x}\,\frac{\cos x}{\sin x} =-\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x).

Resposta

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(\operatorname{cossec}(x)\bigr) =-\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x).

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