(2 pontos) Responda verdadeiro(V) ou falso(F) para as afirmações abaixo, justificando brevemente sua resposta para as falsas.
(_) O método de Gauss-Seidel geralmente converge mais rápido que o de Gauss-Jacobi porque utiliza as informações mais recentes das variáveis já calculadas dentro da mesma iteração.
(-) O polinômio interpolador de Lagrange e o polinômio de Newton que passam pelo mesmo conjunto de três pontos são, ao final, polinômios matematicamente idênticos, diferindo apenas na forma como são construídos.
(一) No método dos trapézios repetidos, dobrar o número de subintervalos (n) reduz o erro de aproximação da integral aproximadamente à metade.
(_) O método de Gauss-Seidel geralmente converge mais rápido que o de Gauss-Jacobi porque utiliza as informações mais recentes das variáveis já calculadas dentro da mesma iteração.
(-) O polinômio interpolador de Lagrange e o polinômio de Newton que passam pelo mesmo conjunto de três pontos são, ao final, polinômios matematicamente idênticos, diferindo apenas na forma como são construídos.
(一) No método dos trapézios repetidos, dobrar o número de subintervalos (n) reduz o erro de aproximação da integral aproximadamente à metade.
Passo 1
O enunciado pede para marcarmos cada afirmação como verdadeiro (V) ou falso (F), justificando brevemente as falsas. Vamos usar conceitos de métodos iterativos lineares (Gauss–Seidel vs Jacobi), interpolação polinomial (Lagrange e Newton) e regra do trapézio repetido (ordem de erro).
Passo 2
Afirmativa 1: “O método de Gauss–Seidel geralmente converge mais rápido que o de Gauss–Jacobi porque utiliza as informações mais recentes das variáveis já calculadas dentro da mesma iteração.”
Isso é clássico: no Gauss–Seidel, ao calcular cada componente da solução já se emprega o valor atualizado das componentes anteriores, acelerando a convergência em relação ao Jacobi. Logo, é verdadeiro.
Isso é clássico: no Gauss–Seidel, ao calcular cada componente da solução já se emprega o valor atualizado das componentes anteriores, acelerando a convergência em relação ao Jacobi. Logo, é verdadeiro.
Passo 3
Afirmativa 2: “O polinômio interpolador de Lagrange e o polinômio de Newton que passam pelo mesmo conjunto de três pontos são, ao final, polinômios matematicamente idênticos, diferindo apenas na forma como são construídos.”
Pela unicidade do polinômio interpolador de grau , ambos os métodos geram o mesmo polinômio final, mudando só a representação algébrica. Logo, é verdadeiro.
Pela unicidade do polinômio interpolador de grau
Passo 4
Afirmativa 3: “No método dos trapézios repetidos, dobrar o número de subintervalos (n) reduz o erro de aproximação da integral aproximadamente à metade.”
O erro da regra do trapézio é da ordem de , onde
. Se dobramos
,
vira
e o erro cai por um fator
, não 1/2. Portanto, essa afirmativa é falsa.
O erro da regra do trapézio é da ordem de
Resposta
(_) V
(-) V
(一) F
(-) V
(一) F