(1pontos) Considere o seguinte sistema Linear
\left\{\begin{array}{ccc} 5 x_{1}-x_{2}+2 x_{3} & = & 12 \\\\ 3 x_{1}+8 x_{2}-2 x_{3} & = & -25 \\\ x_{1}+x_{2}+4 x_{3} & = & 6 \end{array}\right.
Partindo do valor inicial x^{(0)}=(0,0,0), realize uma iteração completa do método de Causs Seidel para encontrar x^{(1)}

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} 5x_{1}-x_{2}+2x_{3}=12,\\\\ 3x_{1}+8x_{2}-2x_{3}=-25,\\\ x_{1}+x_{2}+4x_{3}=6, \end{cases}
e queremos fazer uma iteração completa do método de Gauss–Seidel a partir de x^{(0)}=(0,0,0). No método de Gauss–Seidel isolamos cada variável na sua equação e, a cada cálculo, usamos imediatamente os valores já atualizados.

Passo 2

Isolamos x_{1}, x_{2} e x_{3} respectivamente em cada linha:
x_{1} = \frac{12 + x_{2} - 2x_{3}}{5},\quad x_{2} = \frac{-25 - 3x_{1} + 2x_{3}}{8},\quad x_{3} = \frac{6 - x_{1} - x_{2}}{4}.

Passo 3

Calculamos x_{1}^{(1)} usando x_{2}^{(0)}=0 e x_{3}^{(0)}=0:
x_{1}^{(1)} = \frac{12 + 0 - 2\cdot 0}{5} = \frac{12}{5}.

Passo 4

Calculamos x_{2}^{(1)} usando o valor de x_{1}^{(1)} e x_{3}^{(0)}:
x_{2}^{(1)} = \frac{-25 - 3\cdot\frac{12}{5} + 2\cdot 0}{8} = \frac{-25 - \tfrac{36}{5}}{8} = \frac{-\tfrac{125}{5}-\tfrac{36}{5}}{8} = -\frac{161}{40}.

Passo 5

Finalmente calculamos x_{3}^{(1)} usando x_{1}^{(1)} e x_{2}^{(1)}:
x_{3}^{(1)} = \frac{6 - \frac{12}{5} -\bigl(-\frac{161}{40}\bigr)}{4} = \frac{\tfrac{240}{40}-\tfrac{96}{40}+\tfrac{161}{40}}{4} = \frac{\tfrac{305}{40}}{4} = \frac{61}{32}.

Resposta

x^{(1)} = \Bigl(x_{1}^{(1)},\,x_{2}^{(1)},\,x_{3}^{(1)}\Bigr) = \Bigl(\tfrac{12}{5},\,-\tfrac{161}{40},\,\tfrac{61}{32}\Bigr).

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