Prove que a função
dada por
admite máximos e mínimos.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a função
admite valores máximo e mínimo. O conteúdo é o Teorema de Weierstrass (função contínua em intervalo fechado e limitado atinge extremos) e o estudo de extremos usando derivada.
Passo 2
Mostramos que
é contínua em
. De fato,
e
são contínuas em
, logo na parte do domínio onde
também são, e a soma de funções contínuas é contínua. Assim
é contínua em
.
Passo 3
Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu valor mínimo e seu valor máximo nesse intervalo. Logo existem
tais que
Passo 4
Para achar os pontos de extremo, calculamos a derivada em
:
Igualando a zero para pontos críticos,
Esse ponto está no interior do intervalo.
Passo 5
Calculamos
nos candidatos:
- No extremo esquerdo
:
- No extremo direito
:
- No crítico
:
Passo 6
Comparando os valores
vemos que o mínimo é
e o máximo é
.
Resposta
O mínimo de
em
ocorre em
e vale
e o máximo ocorre em
e vale