Prove que a função f:[12, 2] long<=ftarrow R dada por f(x)=x^2+1x admite máximos e mínimos.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a função
f:[tfrac12,2]toR, f(x)=x^2+1x
admite valores máximo e mínimo. O conteúdo é o Teorema de Weierstrass (função contínua em intervalo fechado e limitado atinge extremos) e o estudo de extremos usando derivada.

Passo 2

Mostramos que f é contínua em [tfrac12,2]. De fato, xmapsto x^2 e xmapsto1/x são contínuas em (0,infty), logo na parte do domínio onde x>=tfrac12 também são, e a soma de funções contínuas é contínua. Assim f é contínua em [tfrac12,2].

Passo 3

Pelo Teorema de Weierstrass, uma função contínua em um intervalo fechado e limitado atinge seu valor mínimo e seu valor máximo nesse intervalo. Logo existem xmin,xmaxin[tfrac12,2] tais que
f(xmin)=min[tfrac12,2]f, f(xmax)=max[tfrac12,2]f

Passo 4

Para achar os pontos de extremo, calculamos a derivada em (tfrac12,2):
f'(x)=2x-1x^2
Igualando a zero para pontos críticos,
2x-1x^2=0 Longrightarrow 2x^3=1 Longrightarrow x=l(tfrac12r)^!1/3=2^-1/3
Esse ponto está no interior do intervalo.

Passo 5

Calculamos f nos candidatos:
  1. No extremo esquerdo x=tfrac12:
fl(tfrac12r) =l(tfrac12r)^2+2 =tfrac14+2 =tfrac94=2,25
  1. No extremo direito x=2:
f(2) =4+tfrac12 =tfrac92=4,5
  1. No crítico x=2^-1/3:
fl(2^-1/3r) =2^-2/3+2^1/3 =2^-2/3(1+2) =3cdot2^-2/3approx1,89

Passo 6

Comparando os valores
3cdot2^-2/3approx1,89, tfrac94=2,25, tfrac92=4,5,
vemos que o mínimo é f(2^-1/3)=3cdot2^-2/3 e o máximo é f(2)=tfrac92.

Resposta

O mínimo de f em [tfrac12,2] ocorre em x=2^-1/3 e vale
min f=3cdot2^-2/3,
e o máximo ocorre em x=2 e vale
max f=tfrac92

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