Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=sin ^2(5 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: y' = sin^2(5x) . Aqui, estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com equações diferenciais simples. Para resolver, vamos precisar integrar a função sin^2(5x) em relação a x.

Passo 2

Primeiro, precisamos integrar ambos os lados da equação para encontrar y. Então, temos:
integral y' , dx = integral sin^2(5x) , dx
Como y' é a derivada de y em relação a x, a integral de y' em relação a x é simplesmente y. Dessa forma:
y = integral sin^2(5x) , dx

Passo 3

Agora, vamos focar em integrar sin^2(5x). Para isso, usamos a identidade trigonométrica que transforma sin^2(a) em termos de cos(2a):
sin^2(a) = 1 - cos(2a)2
Aplicando essa identidade com a = 5x, temos:
sin^2(5x) = 1 - cos(10x)2
Então, a integral fica:
y = integral 1 - cos(10x)2 , dx

Passo 4

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
y = 12 integral 1 , dx - 12 integral cos(10x) , dx
Integrando cada termo:
  • integral 1 , dx = x
  • integral cos(10x) , dx = sin(10x)10
Então:
y = 12 x - 12 ( sin(10x)10 ) + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Simplificando a expressão:
y = x2 - sin(10x)20 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x2 - sin(10x)20 + C

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