Resolva as equações diferenciais abaixo:
y^prime=x ln (x)

Passo 1

Estamos vendo uma equação diferencial do tipo y^prime = x ln(x). Isso faz parte do conteúdo de cálculo integral, onde vamos precisar integrar a função do lado direito para encontrar a função y.

Passo 2

A equação y^prime = x ln(x) nos diz que a derivada de y em relação a x é igual a x ln(x). Para encontrar y, precisamos integrar x ln(x) em relação a x.

Passo 3

Para resolver a integral integral x ln(x) , dx, vamos usar a técnica de integração por partes. Essa técnica é útil quando temos o produto de duas funções, como é o caso aqui.

Passo 4

A fórmula da integração por partes é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln(x), então du = 1x , dx
  • dv = x , dx, então v = x^22

Passo 5

Aplicando a fórmula:
integral x ln(x) , dx = ln(x) cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
= x^22 ln(x) - 12 integral x , dx

Passo 6

Calculando a última integral:
integral x , dx = x^22 + C
Substituindo de volta:
x^22 ln(x) - 12 cdot x^22 + C = x^22 ln(x) - x^24 + C

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = x^22 ln(x) - x^24 + C
onde C é a constante de integração.

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