Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que (i) essa série de potências converge para todo (isto é, está bem definida em ) e (ii) satisfaz a equação diferencial
Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois diferenciar termo a termo.
Passo 2
Seja
Aplicamos o teste da razão:
Como o limite é 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em toda reta real. Logo o raio de convergência é infinito e f(x) está bem definida para todo x.
Passo 3
Como a série tem raio infinito, podemos diferenciá-la termo a termo. Primeiro calculamos