Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty (-3)^nn! x^n está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-9 y=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=0^infty(-3)^nn!,x^n
e pede para mostrar que (i) essa série de potências converge para todo xinR (isto é, f está bem definida em R) e (ii) f satisfaz a equação diferencial
y''-9y=0
Para isso, vamos usar o teste da razão para séries de potências e depois diferenciar termo a termo.

Passo 2

Seja
un(x)=(-3)^nn!,x^n
Aplicamos o teste da razão:
|un+1(x)un(x)| =|(-3)^n+1(n+1)!,x^n+1;/;(-3)^nn!,x^n| =|-3|;|x|n+1 ;xrightarrow[ntoinfty];0
Como o limite é 0<1 para todo xinR, a série converge absolutamente em toda reta real. Logo o raio de convergência é infinito e f(x) está bem definida para todo x.

Passo 3

Como a série tem raio infinito, podemos diferenciá-la termo a termo. Primeiro calculamos
f'(x) =sumn=1^infty(-3)^nn!,n,x^n-1 =summ=0^infty(-3)^m+1m!,x^m =-3summ=0^infty(-3)^mm!,x^m =-3,f(x)
Diferenciando de novo,
f''(x) =ddxl(-3f(x)r) =-3,f'(x) =-3l(-3f(x)r) =9,f(x)

Passo 4

Substituindo em y''-9y com y=f(x), temos
f''(x)-9,f(x) =9,f(x)-9,f(x) =0
Portanto f satisfaz a equação diferencial y''-9y=0.

Resposta

A série que define
f(x)=sumn=0^infty(-3)^nn!,x^n
converge para todo xinR e, diferenciado termo a termo, verifica-se que
f''(x)-9f(x)=0,
ou seja, f é solução de y''-9y=0.

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