Prove que a função
dada por
está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar duas coisas: que essa série converge para todo
(logo
está bem definida) e que
satisfaz a equação diferencial
Para isso, vamos usar o teste da razão para convergência de séries de potências e a diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão ao termo geral
Calculamos
Como
limntoinfty9,|x|^2(2n+2)(2n+1)=0<1 para todo
x , a série converge absolutamente em todo
R . Logo,
f(x) está bem definida.
Passo 3
Dentro do raio de convergência infinito podemos diferenciar termo a termo. O primeiro termo não contribui à derivada, pois é constante. Para
n>=1 :
Portanto
Derivando de novo,
Fazendo a mudança de índice
k=n-1 , tem-se
Passo 4
Da expressão acima segue imediatamente
para todo
x . Portanto
f satisfaz a equação diferencial
Resposta
A série que define
f(x) converge para todo
xinR , logo
f está bem definida, e da diferenciação termo a termo surge
ou seja,
f é solução de
y''-9y=0 .