Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 3^2 n(2 n)! x^2 n está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-9 y=0

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=sumn=0^infty3^2n(2n)!,x^2n
e pede para mostrar duas coisas: que essa série converge para todo xinR (logo f está bem definida) e que f satisfaz a equação diferencial
y''-9y=0
Para isso, vamos usar o teste da razão para convergência de séries de potências e a diferenciação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão ao termo geral
an=3^2n(2n)!,x^2n
Calculamos
|an+1an| =3^2(n+1)(2n+2)!,|x|^2(n+1);/;3^2n(2n)!,|x|^2n =9,|x|^2(2n+2)(2n+1)
Como limntoinfty9,|x|^2(2n+2)(2n+1)=0<1 para todo x, a série converge absolutamente em todo R. Logo, f(x) está bem definida.

Passo 3

Dentro do raio de convergência infinito podemos diferenciar termo a termo. O primeiro termo não contribui à derivada, pois é constante. Para n>=1:
ddxl(3^2n(2n)!x^2nr) =3^2n(2n)!,2n,x^2n-1 =3^2n(2n-1)!,x^2n-1
Portanto
f'(x)=sumn=1^infty3^2n(2n-1)!,x^2n-1
Derivando de novo,
f''(x) =sumn=1^infty3^2n(2n-1)!,(2n-1),x^2n-2 =sumn=1^infty3^2n(2n-2)!,x^2n-2
Fazendo a mudança de índice k=n-1, tem-se
f''(x) =sumk=0^infty3^2(k+1)(2k)!,x^2k =9sumk=0^infty3^2k(2k)!,x^2k =9,f(x)

Passo 4

Da expressão acima segue imediatamente
f''(x)-9,f(x)=9,f(x)-9,f(x)=0
para todo x. Portanto f satisfaz a equação diferencial
y''-9y=0

Resposta

A série que define f(x) converge para todo xinR, logo f está bem definida, e da diferenciação termo a termo surge
f''(x)=9,f(x),
ou seja, f é solução de y''-9y=0.

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