Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em .
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que essa série converge para todo (ou seja, está bem definida em ) e que satisfaz a equação diferencial
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de potências (para a convergência em todo ) e a diferenciação termo a termo de séries de potências (para verificar a ODE).
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à série de termos
Calculamos
Como o limite da razão é 0<1 para todo x, a série converge absolutamente para todo xinR. Logo f está bem definida em R.
Passo 3
Podemos diferenciar a série termo a termo dentro do raio de convergência (que é infinito). Primeiro