Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 3^2 n+1(2 n+1)! x^2 n+1 está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em R.

Passo 1

O enunciado define
f(x) ;=;sumn=0^infty3^2n+1(2n+1)!,x^2n+1
e pede para mostrar que essa série converge para todo xinR (ou seja, f está bem definida em R) e que f satisfaz a equação diferencial
f''(x)-9,f(x)=0,
O conteúdo que vamos usar é o teste da razão para séries de potências (para a convergência em todo R) e a diferenciação termo a termo de séries de potências (para verificar a ODE).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série de termos
an(x)=3^2n+1(2n+1)!,x^2n+1,
Calculamos
|an+1(x)an(x)| =3^2(n+1)+1,|x|^2(n+1)+1/(2(n+1)+1)!3^2n+1,|x|^2n+1/(2n+1)! =3^2,x^2(2n+2)(2n+3) ;xrightarrow[ntoinfty],0
Como o limite da razão é 0<1 para todo x, a série converge absolutamente para todo xinR. Logo f está bem definida em R.

Passo 3

Podemos diferenciar a série termo a termo dentro do raio de convergência (que é infinito). Primeiro
f'(x) =sumn=0^infty3^2n+1(2n+1)!,(2n+1),x^2n =sumn=0^infty3^2n+1(2n)!,x^2n
Em seguida, outra derivada dá
f''(x) =sumn=0^infty3^2n+1(2n)!,(2n),x^2n-1 =sumn=1^infty3^2n+1(2n-1)!,x^2n-1

Passo 4

Reindexamos a soma de f''. Defina m=n-1. Então quando n=1,2,3,dots temos m=0,1,2,dots e
f''(x) =summ=0^infty3^2(m+1)+1(2m+1)!,x^2m+1 =summ=0^infty3^2cdot3^2m+1(2m+1)!,x^2m+1 =9summ=0^infty3^2m+1(2m+1)!,x^2m+1 =9,f(x)
Logo
f''(x)-9,f(x)=0
para todo xinR.

Passo 5

Concluímos que a série que define f converge em todo R e que f satisfaz a equação diferencial
f''-9f=0
para todo x.

Resposta

A série converge para todo xinR, logo f está bem definida, e a diferenciação termo a termo mostra que f''(x)=9f(x), ou seja, f é solução de
f''(x)-9,f(x)=0em R

Exercícios relacionados