Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
Passo 1
O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre a função
Que essa série de potências converge para todo (logo está bem definida).
Que satisfaz a equação diferencial
Para isso vamos usar o critério da razão para a convergência e depois diferenciar termo a termo a série de potências.
Passo 2
Aplicamos o critério da razão à série de termos
Calculemos
Para ntoinfty esse quociente tende a 0 para todo x. Pelo critério da razão, a série converge absolutamente em todo R. Assim f(x) está bem definida para todo x.
Passo 3
Como a série converge em R e tem raio de convergência infinito, podemos diferenciá-la termo a termo.
Primeiro,