Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 12^n(2 n+1) n! x^2 n+1 está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
y^prime prime-x y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar duas coisas sobre a função
f(x)=sumn=0^infty12^n(2n+1),n!;x^2n+1:
  1. Que essa série de potências converge para todo xinR (logo f está bem definida).
  2. Que f satisfaz a equação diferencial
y''-x,y'=0
Para isso vamos usar o critério da razão para a convergência e depois diferenciar termo a termo a série de potências.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão à série de termos
an(x)=12^n(2n+1),n!;x^2n+1
Calculemos
|an+1(x)an(x)| =12^,n+1(2n+3)(n+1)!,|x|^2n+3 12^n(2n+1)n!,|x|^2n+1 =2^n(2n+1)n!2^n+1(2n+3)(n+1)n!;|x|^2 =2n+12(n+1)(2n+3),|x|^2
Para ntoinfty esse quociente tende a 0 para todo x. Pelo critério da razão, a série converge absolutamente em todo R. Assim f(x) está bem definida para todo x.

Passo 3

Como a série converge em R e tem raio de convergência infinito, podemos diferenciá-la termo a termo.
Primeiro,
f'(x) =sumn=0^infty12^n(2n+1),n!,(2n+1),x^2n =sumn=0^infty12^n,n!;x^2n =sumn=0^inftyl(x^2/2r)^nn! =e^tfracx^22
Em seguida,
f''(x)=ddxl(e^tfracx^22r) =x,e^tfracx^22

Passo 4

Agora basta substituir na equação diferencial:
f''(x)-x,f'(x) =x,e^tfracx^22-x,e^tfracx^22 =0
Logo f satisfaz y''-x,y'=0.

Resposta

A série converge para todo xinR, definindo uma função f bem comportada, e as derivações termo a termo mostram que
f''(x)-x,f'(x)=0,
ou seja, f é solução da equação dada.

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