Prove que a função f: R longrightarrow R dada por f(x)=sumn=0^infty 1(2 n+1) n! x^2 n+1 está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em R.

Passo 1

O enunciado define
f(x)=sumn=0^infty1(2n+1),n!,x^2n+1
e pede para mostrar que essa série de potências converge para todo xinR (logo f está bem definida em R) e que, derivando termo a termo, obtemos
f'(x)=e^x^2,
ou seja, f é solução da EDO
y'=e^x^2, y(0)=0
Para isso vamos usar o teste da razão para a convergência e o fato de que séries de potências podem ser diferenciadas termo a termo dentro do seu raio de convergência.

Passo 2

Defina o termo geral
an(x)=x^2n+1(2n+1),n!
Aplicando o teste da razão, calcule
|an+1(x)an(x)| =dfrac|x|^2(n+1)+1(2(n+1)+1),(n+1)! dfrac|x|^2n+1(2n+1),n! =|x|^2n+1;cdot;2n+12n+3 <=|x|^2n+1
Como tfrac|x|^2n+1to0<1 quando ntoinfty, a razão tende a zero e a série converge para todo xinR.

Passo 3

A convergência para todo real implica que o raio de convergência é infinito. Em particular a soma define uma função C^infty em R, e podemos diferenciar termo a termo em qualquer intervalo fechado contido em R.

Passo 4

Derivando termo a termo, usando l(x^2n+1r)'=(2n+1)x^2n, obtemos
f'(x) =sumn=0^infty1(2n+1),n!,(2n+1),x^2n =sumn=0^inftyx^2nn! =e^x^2
Além disso, f(0)=0 (pois todos os termos têm fator x). Logo f satisfaz a condição inicial y(0)=0.

Resposta

A série que define f converge para todo xinR, e ao derivá-la termo a termo obtemos
f'(x)=e^x^2,
com f(0)=0. Portanto f é uma solução da EDO
y'=e^x^2, y(0)=0

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