Prove que a função dada por está bem definida e é uma solução da equação diferencial ordinária
em R.
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que essa série de potências converge para todo (logo está bem definida em ) e que, derivando termo a termo, obtemos
ou seja, é solução da EDO
Para isso vamos usar o teste da razão para a convergência e o fato de que séries de potências podem ser diferenciadas termo a termo dentro do seu raio de convergência.
Passo 2
Defina o termo geral
Aplicando o teste da razão, calcule
Como tfrac|x|^2n+1to0<1 quando ntoinfty, a razão tende a zero e a série converge para todo xinR.
Passo 3
A convergência para todo real implica que o raio de convergência é infinito. Em particular a soma define uma função C^infty em R, e podemos diferenciar termo a termo em qualquer intervalo fechado contido em R.
Passo 4
Derivando termo a termo, usando l(x^2n+1r)'=(2n+1)x^2n, obtemos